Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề “góc trong không gia

n góc giữa hai mặt phẳng ( AB¢I )
Phân tích bài toán :
và ( ABC ).
Với giả thiết bài toán cho ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác AB¢I , từ đó suy ra tam giác vuông. Rõ rãng đối với bài toán này việc dựng góc giữa hai mặt phẳng sẽ khó khăn hơn nhiều so với sử dụng công thức hình chiếu. Vậy nên ta chọn cách sử dụng công thức diện tích hình chiếu để giải quyết ý b.
Lời giải:
Ta có:
BC = B¢C¢ =	AB2 + AC 2 - 2AB.AC cos BAC = a 3.
AB¢ =	AB2 + BB¢2 = a 2
AI =	AC 2 + CI 2 = a 5
2
B¢I =	B¢C¢2 + C¢I 2 = a 13
2
B'	C'
A'	I
B	C
A

2
Do	¢2 +	2 =	¢ 2 = 13a Þ D ¢
vuông tại A.
AB	AI	B I	B AI
4
Do DABC
là hình chiếu của tam giác
AB ' I trên mặt phẳng ( ABC ) .
Ta có:
= 1	¢
= a2 10
SAB¢I
1
AB .AI	.
30
2	4
a2
3
¢

SABC
SABC =
AB.AC sin BAC =	Þ cos(( AB I ); ( ABC )) =	=	.
2	4	SAB¢I	10
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B có
AD = 2a và AB = BC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với
đáy. Biết mặt phẳng (SBC )
tạo với đáy ( ABCD)
một góc 60o. Tính tan góc tạo bởi
mặt phẳng (SCD)
Lời giải:
và (SBD) với mặt phẳng ( ABCD).
S
I
A	D
E
B	C
Ta có:
ìBC ^ AB Þ BC ^ (SBA).
íBC ^ SA
î
Khi đó: ((SBC );( ABCD)) = SBA = 60o
Þ SA = AB tan 60o = a 3.
Gọi I là trung điểm của
AD Þ ABCI là hình vuông cạnh
a Þ CI = a = 1 AD Þ DACD
2
vuông tại C.
Ta có:
Do đó
ìCD ^ AC Þ CD ^ (SCA).
í
îCD ^ SA
((SCD);( ABCD)) = (SC; AC ) = SCA và

tan SCA =

SA =	=	=	6 .
a 3
AB2 + BC 2
3
2
AC	2
Dựng
AE ^ BD,
lại có
BD ^ SA Þ BD ^ (SEA) Þ ((SBD);( ABCD)) = SEA.
Ta có:
AE =	=	Þ tan SEA =
SA =
AE
15 .
2
AB.AD
AB2 + AD2
2a
5
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Hình
chiếu vuông góc của A¢ lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa
đường thẳng
A¢C và mặt đáy ( ABC )
bằng 60o. Tính cosin góc giữa mặt phẳng
( A¢AC ) và mặt đáy ( ABC ).
Lời giải:
Gọi H là trung điểm cạnh AB ta có:
A¢H ^ ( ABC )
Do đó A¢CH = 60o. Lại có:
CH = AC sin 60o = a 3
Þ A¢H = CH tan 60o = 3a.
Dựng HK ^ AC ta
có A¢H ^ AC Þ (A¢HK) ^ AC
Khi đó HK = HAsin 60o = a 3 .
2
A'	B'
C'
H
A	B
K
C

HK
HK 2 + A¢H 2
1
13
Ta có: cos A¢KH =	=	> 0.
Do vậy
cos(( A¢AC );( ABC )) =	.
1
13
Ví dụ 9. Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với
cos2b	cos2g	1
nhau. Gọi a , b ,g lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng	ABC với các mặt phẳng
OBC
, OAC
, OAB . Chứng minh :
cos2a
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
xuống	ABC , khi đó H là trực tâm tam
giác ABC . Vì vậy hình chiếu vuông góc của các tam giác OAB, OBC,OCA xuống	ABC	theo thứ tự là
HAB, HBC, HCA .
Gọi K	AH	BC	AH	BC . Mà
OH	BC nên BC	OAK	BC	OK
O
C
A
γ	H	α
K
B

Vậy
Do OA

OBC ,

ABC

OK, AK	OKA	a
OBC
OA	OK
OK
AK
.Tam giác OAK vuông tại O nên cosa	.
Ta có: S
1 AK.BC ; S
1 OK.BC
SOBC
OK	cosa
ABC	2
OBC	2
SABC	AK
Áp dụng công thức diện tích hình chiếu :
SHBC	SOBC
.cosa
cosa
SHBC
S
Vậy ta có :
SOBC . SHBC
cos2 a
SHBC
cos2 a
OBC
SABC SOBC
SABC
SHAC
SABC
cos2 b ; SHAB
SABC
cos2 g
Chứng minh tương tự :
cos2 b	cos2 g
SHBC
SABC
SHAC	SHAB
SABC	SABC
SHBC	SHAC	SHAB
SABC
1
Vậy : cos2 a
Ví dụ 10. Cho hai điểm phân biệt A và B nằm trong mặt phẳng (P).
Gọi C là điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C
và tổng hai góc tạo bởi hai đường thẳng CA, CB với mặt phẳng (P) là trị nhỏ nhất của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABC).
Phân tích bài toán:
600 . Tìm giá
a, CB; P
b
Rõ ràng rằng khi điểm C thay đổi thì góc giữa CA, CB thay đổi theo. Do
vậy, ta đặt :
CA;
P	.
Từ giả thiết đã cho ngay mối liên hệ giữa hai góc : a	b	600 . Như vậy ta chỉ cần
biểu thị góc giữa (P) và (ABC) theo a , b . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó.
Lời giải:
A
H
K
P
B
C
AB	CK	AB
1	1	1	CH 2	CH 2	CH 2
CK 2	CA2	CB2	CK 2	CA2	CB2
Gọi a , b ,j là góc giữa mặt phẳng (P) lần lượt với CA, CB và (ABC) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên (P). Kẻ HK
Do ABC vuông tại C nên:
a	b	600 .
sin2 j	sin2 a	sin2 b
1 1 cos 2a	cos 2b
2
1 cos a	b cos a	b
1 1 cos a	b
2
sin2 j
b	1	sin2 j
1
2
sinj
2
2
j	450
Do cos a
450	a	b	300
Khi đó : jmin
Ví dụ 11: (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Bà Rịa Vũng Tàu 2012)
AB	a, AD	b.
, ,
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt
phẳng	ABCD	và
SA
Gọi
lần lượt là góc giữa các mặt
phẳng SBD	với các mặt phẳng
SAB ,
SAD và
ABD
. Tìm giá trị lớn nhất của
cos
cos
cos .
biểu thức P
Lời giải.
Đặt AS	x, AB	y, AD	z .
Khi đó x.y	y.z	z.x	0
và x	y	a, z	b.
SA	ABD	x	ABD
Ta có:	BA	SAD	y	SAD	1
DA	SAB	z	SAB
S
a
b	D a
C

u	mx	ny	pz
u
u
SB
SD
mà
mx	ny	pz	y	x
0
n
mx	ny	pz	z	x
0
na2	ma2	0
pb2	ma2	0
m
2
p	ma
b2
Giả sử
.
n
Chọn m	1
p
1
a2
b2
suy
ra u	x	y
a2
b2
z
u
x	y
a2
b2
2
z
a
b
2b2
a2 .
Khi đó kết hợp với 1 ta có:
u.x
x	y
a2
b2
z x
a2
cos
cos u, x
u.x 
u x
	 2
2b2
a2
b
u.y 
u y
	 3
2b2
a2
cos u, y
b
+)
u.y
x	y
a2
b2
z y
a2
+)
a2
+) u.z	x	y	z z	a2
b2
cos cos
u.z 
u z
	 4
2b2
a2
P	cos
cos
cos
a	2b
1	2
a2
2b2
2b2
a2
2b2
a2
3
cos u, z
a
Từ 2 , 3 , 4
3,
a	b.
Vậy max P	đạt được
2.2.4 Bài tập tự luyện. Bài 1. (ĐH – CĐ A 2008).
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác
3
vuông tại A, AB = a, AC = a	và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là
trung điểm của cạnh BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 2. (ĐH – CĐ B 2008).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Bài 3. (Trích đề thi hsg trường THPT Lưu Hoàng- Hà Nội năm 2021-2022 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA
vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng 600 . Gọi N là trung điểm của
BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SD và AN .
Bài 4. (Trích Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2018-2019)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AB // CD ) nội
tiếp đường tròn tâm O và
SBA	SCA
900 . Gọi M là trung điểm cạnh SA. Gọi j là
BC
SA
góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Chứng minh rằng cos cosj	.
Bài 5. (Trích đề thi thử trường THPT Yên Dũng 3- Bắc Giang )
Cho hình chóp
S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B , AB	BC	a, AD
2a ,
SA vuông góc với đáy, SA
2a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm
SB, CD . Tính cosin
góc giữa MN và	SAC .
Bài 6. (Đề OLYMPIC 27/4 tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu năm 2018)
a
Cho đoạn thẳng AB	và vuông góc với mặt phẳng (P) tại B. Trong (P) lấy
điểm H sao cho BH	BA . Qua H, vẽ đường thẳng d trong (P) và vuông góc với
BH. Hai điểm M, N di động trên d và thỏa mãn
MAN
900 . Đường thẳng qua A và
vuông góc với (AMN) cắt (P) tại K. Gọi a , b lần lượt là số đo các góc tạo bởi BM
a	b
với mặt phẳng (AKN), BN với (AKM). Tìm giá trị nhỏ nhất của T	.
Bài 7: (Trích đề HSG Tỉnh Hà Tĩnh năm 2021-2022 )
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a
2 , cạnh bên
bằng 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm và mặt phẳng	SBD .
SA, BC .Tính góc giữa đường thẳng MN
Bài 8: (Trích đề HSG Tỉnh Bình Định năm 2021-2022 )
Cho hình thoi ABCD có
BAD
600, AB
2a . Gọi H là trung điểm AB, trên
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S thay đổi khác H. Tính SH khi góc giữa SC và mặt phẳng	SAD có số đo lớn nhất.
Bài 9 : (Trích đề HSG Tỉnh Nghệ An năm 2021-2022 )
Cho hình hộp
ABCD.A1B1C1D1
có đáy ABCD	là hình thoi cạnh bằng a,
600
ABC	và
B1 A
ABCD
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
B1CD	và
A1B1C1D1
bằng a , với
cot a	. Gọi M là trung điểm của CD, E là trung điểm của
B1M , F là
1
2
điểm thuộc đường thẳng
DD1
sao cho EF
. Tính độ dài đoạn EF và cosin
AC
góc giữa hai mặt phẳng	AEM và	AEF .
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, tam giác
SAB cân tại S, biết
SA = a
13 , (SAB) ^ ( ABCD) . Gọi a là góc tạo bởi hai mặt phẳng
2
(SAD) và (SCD) . Tính cosa ?
Bài 11. (Trích đề thi OLIMPIC 27 tháng 4 tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu NH: 2021-2021)
Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ,canh
AB	a, AD
2a .Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết rằng SA	SB	SC	SD ,
góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng	ABCD bằng đường thẳng MN và mặt phẳng	SBD .
600 .Tính cosin của góc giữa
Ví dụ 12. Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A với
2
AB = a; AC = a
3 , hình chiếu vuông góc của
A¢ lên mặt đáy trùng với trung điểm H
của BC. Biết
A¢H = a	. Tính cosin góc tạo bởi
A¢B với mặt phẳng ( ACC¢A¢) .
SA
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và
a
SD, a là góc giữa hai mặt phẳng	AMN và	SBD . Tính giá trị sina ?
2
3
2 2
3
7
3
1
3
Bài 14: (Đề thi THPT Quốc gia 2018)
Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông
A' B 'C ' D ' và M là một điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO	2MI . Khi đó, côsin
của góc tạo bởi hai mặt phẳng
MC ' D '
và	MAB	bằng
A. 6 85 .	B. 7 85
C. 17 13
D. 6 13
85	85	65	65
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, cạnh
SA = 1và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm CD . Tính cosa với a là góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AM .
2
5
- 2
5
1
2
4
5
Kết quả thực nghiệm sư phạm
Mục đích thực nghiệm
Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến.
Nội dung thực nghiệm
+) Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến.
+) Đối tượng áp dụng: Học sinh các lớp 11A3, 11A4 trường THPT Nam Yên Thành , huyện Yên Thành, tỉnh Nghệ An.
+) Thời gian thực hiện : Phần lớn số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các tiết luyện tập, tự chọn, ôn tập chuyên đề.
Kết quả thực nghiệm
Thực tế cho thấy, nhìn chung có khá nhiều em học sinh học tập bị động, máy móc, thiếu tính linh hoạt và sáng tạo, không có nhiều tìm tòi để sáng tạo ra bài toán mới, học tập không thật sự tích cực.
Nhưng tôi vẫn thấy rằng, ở lớp thực nghiệm thì nhìn chung các em tích cực hoạt động, học tập sôi nổi và có sự linh hoạt hơn. Đa số các học sinh khá – giỏi môn Toán rất hứng thú trong buổi học chuyên đề do giáo viên thực hiện. Các em không chỉ nắm được cốt lõi cách giải các bài toán mà còn tự xây dựng được các bài toán mới.
Các giờ học đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho các em học sinh lớp 11. Còn ở lớp đối chứng, hoạt động học tập còn khiên cưỡng, các em chủ yếu giải toán một cách thụ động, hoặc chỉ giải được bài toán mà không khai thác được bài toán đó, ít có khả năng sáng tạo ra cái mới.
Nhiều em học sinh ở các lớp thực nghiệm đã giải được nhiều bài toán “góc” trong các đề thi tốt nghiệp , đề thi thử THPT những năm trước và các đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 sau khi các em đã được giáo viên giảng dạy theo nội dung của sáng kiến.
Trong năm học 2021 - 2022 tôi được phân công giảng dạy môn toán tại các lớp 11A3, 11A4. Cả 2 lớp này chất lượng môn toán đều ở mức gần tương đương nhau. Tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm và tiến hành kiểm tra để kiểm chứng hiệu quả của đề tài này, kết quả thu được thống kê ở bảng sau:
Khoảng điểm
Lớp TN (11A3)
Lớp ĐC (11A4)
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Dưới 5,0
3
7,7
8
21,1
Từ 5,0 đến dưới 6,5
8
20,5
14
36,8
Từ 6,5 đến dưới 8,0
12
30,8
10
26,3
Từ 8,0 đến dưới 9,0
9
23,1
5
13,2
Từ 9,0 đến 10,0
7
17,9
1
2,6
Tổng
39
100
38
100
Qua bảng cho thấy: tỉ lệ % điểm khá, giỏi nhóm TN luôn cao hơn nhóm ĐC, đặc biệt là tỉ lệ % điểm giỏi.
Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học góc trong không gian mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực nghiệm.
PHẦN III.	KẾT LUẬN
Kết luận.
Trong qua trình dạy học hình học không gian nói chung và dạy chủ đề góc nói riêng ở trường THPT Nam Yên Thành, tôi biết được số học sinh sợ nội dung này khá nhiều. Bản thân tôi luôn trăn trở tìm cách làm sao để rèn luyện giúp học sinh học tốt loại toán này. Bản thân đã tham khảo các tài liệu, các đề thi học sinh giỏi của các trường, các tỉnh, các đề thi TNTHPT, các kênh thông tin từ đồng nghiệp, từ mạng internet, ... để nghiên cứu và hình thành nên đề tài.
Qua việc nghiên cứu đề tài, tôi nhận thấy:
Đối với bản thân:
Bản thân phần nào được rèn luyện năng lực chuyên môn, giúp bản thân phân loại bài tập tương ứng với từng mức độ học sinh. Xây dựng chuyên đề dạy học nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho các em học sinh.
Đối với học sinh:
Đối với học sinh các em được rèn luyện nhiều về các năng lực Toán học thông qua việc nghiên cứu bài toán góc trong không gian và ứng dụng vào các bài
toán liên quan. Các em được phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học thông qua việc phát hiện được các điểm khác biệt của các tình huống trong mỗi bài toán và lý giải được sự khác nhau đó. Các em được rèn luyện năng lực giải quyết các vấn đề Toán học thông qua việc biết phân tích và lựa chọn giải pháp thích hợp cho mỗi bài toán. Các em được sáng tạo khi tìm ra những cách giải mới, biết cách sáng tạo bài toán mới từ những kiến thức đã biết, hình thành cho bản thân năng lực sáng tạo. Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói chung. Đặc biệt tôi nhận thấy các đối tượng học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này.
Đối với đồng nghiệp, bộ môn, nhà trường:
Đề tài góp phần bổ sung tài liệu giảng trong quá trình dạy học. Qua đó nâng cao chất lượng học sinh trong nhà trường.
2 . Kiến nghị.
Đề tài có khả năng áp dụng cho học sinh khối 11 trong các nhà trường THPT góp phần nâng cao chất lượng kết quả của bộ môn.
Tuy đã cố gắng nỗ lực, song do năng lực chuyên môn và thời gian thực hiện có hạn nên đề tài còn chưa đa dạng về các ví dụ . Trong quá trình thực hiện, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý, chia sẻ của các thầy cô, đồng nghiệp để hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Hình học 11 ( 2008 ), Nhà xuất bản Giáo dục.
[2]. Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao (2008), Nhà xuất bản Giáo dục..
[3]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006) Sách Bài tập Hình học 11 (2008), Nhà xuất bản Giáo dục.
[4]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006) Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao ( 2008), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[5]. Sách Hình học không gian (2010), tác giả Phan Huy Khải Nhà xuất bản Giáo dục
[6]. Sách Chuyên đề luyện thi vào đại học hình học không gian( 2009),tác giả Trần Văn Hạo (chủ biên) Nhà xuất bản Giáo dục
[7]. Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian (2016),tác giả Nguyễn Mạnh Hùng, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội.
[8]. Bộ giáo dục và đào tạo, Đề minh họa và Đề chính thức Kỳ thi TNTHPT
[9]. Đề thi Học sinh giỏi cấp trường, cấp Tỉnh nguồn internet