Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp

 BD SM BD
a
a
 . 
 b) Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng SCD và SBC , K AD BC  . 
Ta có: 
,
, sin
,
d D SBC
SC SCD SBC
d D SC
  , trong đó: 
2 2 2
2
.
2 . 222,
11
SCD
a
a
S SN CD a
d D SC
SC SC SH CN NH
; 
2
, , , .
3
DK
d D SBC d H SBC d H SBC
HK
 Kẻ ,HE BC HF SE  . Khi đó 
2 2
2 2 . 10
, .
3 3 10
SH EH a
d D SBC HF
SH EH
 suy ra 
55
sin
10
 . 
 Nhận xét: Chúng ta có thể tính  theo công thức 
,
sin
,
d B SCD
d B SC
 . 
 Ví dụ 4.3. (Sáng tác). Cho lăng trụ .ABC A B C có tam giác AB A đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc giữa hai mặt 
 39 
phẳng AB B và AB C . Tính thể tích lớn nhất của khối lăng trụ .ABC A B C biết 
2
sin
5
 và 6AA B C . 
 Lời giải: 
Đặt 2 , 0, 0AA x B C y x y . Ta có 
 2 6 6 2 0 3x y y x x . 
Gọi AH là đường cao của tam giác AB A . Khi đó AH là đường cao của lăng 
trụ .ABC A B C . Ta có AB BAB C AB  . 
Gọi ,I O lần lượt là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng AB C và đường 
thẳng AB . Khi đó: AB BOI AB OI   suy ra góc là giữa hai mặt phẳng 
 AB B và AB C là góc BOI . 
Do tam giác AB A đều nên ta có 
3
2 3
2
BO AH x x . 
Ta có , ', 2 ,BI d B AB C d A AB C d H AB C . 
Kẻ , ,HR B C HK AR d H AB C HK   . 
Ta có: 
2 2 2 2
. 3.
3
AH HR x HR
HK
AH HR x HR
 suy ra
2 2
2 3.
3
x HR
BI
x HR
. Ta có 
2 2
2 2 3
sin , 2 3
253
BI HR x
HR d A B C HR x
BO x HR
. 
3
.
3 3 6 2
. . 6 2 12
2 2 3
ABC A B C
x x x
V x x x 
. 
 40 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 6 2 2x x x . 
Ví dụ 4.4. (Sưu tầm). Cho hình hộp 1 1 1 1.ABCD A B C D có đáy ABCD là hình 
thoi cạnh bằng 0, 60a ABC và 1 .AB A BCD Biết góc giữa hai mặt phẳng 
 1B CD và 1 1 1 1A B C D bằng , với cot
1
.
2
 Gọi M là trung điểm của ,CD E là 
trung điểm của 1 .B M 
a) Tính thể tích khối hộp 1 1 1 1. .ABCD A B C D 
b) Gọi F là điểm thuộc đường thẳng 1DD sao cho .EF AC Tính độ dài 
đoạn EF và cosin góc giữa hai mặt phẳng AEM và .AEF 
Lời giải 
a) Dễ thấy tam giác ACD là tam giác 
đều CAM D  và 
3
.
2
a
AM 
Khi đó ta cũng có: 
 1 1 1
C
D
BD A
C AM
C
AM
D
B B
AM



Trong tam giác vuông 1,AMB có 
1
1
3
cot 2. 3
cot 2
AAM
AB
AB
M a
a 
 (1) 
Lại có 
2
2 01 32 2 . .sin sin60
2 2
ABCD ABC
a
S S BA BC B a
 (2) 
Từ (1), (2) suy ra 
1 1 1 1
3
.
2
1
3 3
. 3. .
2 2
ABCD A B C D ABCD
a a
V AB S a 
b) Gọi H là trung điểm AM, ta có 1//EH AB và 1
1 3
2 2
a
EH AB 
 CEH AB D  . 
Trong mặt phẳng ABCD dựng đường thẳng qua H song song song với 
BD cắt CD tại .K 
Trong mặt phẳng 1 1CDD C dựng đường thẳng qua K song song với 1DC 
cắt 1DD tại F. 
 41 
KFEH là hình thang vuông. 
Gọi O AC BD  . Khi đó 
//
//
HO KD
KH DO
KHOD là hình bình 
hành. 
Do đó 
3
2
a
KH DO và 
.
2 4
MC a
KD HO 
Dựng hình bình hành 1 1DC D G , 
suy ra 
1
1 1 1 1
1
/ /
4
FK DK FK DK
FK D G
D G DG AB C D
1
1 3
4 4
a
FK AB . Xét hình thang vuông KFEH ta có: 
2 2
22 2 23 3 3 15
2 4 2 16
a a a
EF HE KF HK a
15
.
4
a
EF 
Ta có 2 2
1
15
2
a
B M AM AB EF EA EM hình chiếu vuông 
góc của E xuống mặt phẳng MAF là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAF. 
Gọi I là trung điểm AF, do tam giác AMF vuông tại M MEI A F  
Lại có 
3
2
F
a
M I AFF M MA M I AE   và 
6
.
2
a
AF 
Lại có DC AEM , ,MAE FAE MI MD 
Khi đó ta có 
2 2 2 2
2
2 4 4 2
DA DF AF a a
DI DI MD
Tam giác MID cân tại D nên 
6
cos .
2 4
MI
MD
 42 
2.5. Hướng dẫn học sinh xây dựng và giải một số bài toán có nội dung 
thực tiễn, một số hoạt động trải nghiệm thực tế về góc trong hình học không 
gian tổng hợp 
Giáo viên cho học sinh hoạt động theo nhóm, giải một số bài toán có nội 
dung thực tiễn 
Ví dụ 5.1. Trong hình bên, 
máy tính xách tay đang mở. Em 
hãy tính góc tạo bởi mặt phẳng 
chứa màn hình máy tính và mặt 
bàn, biết rằng với tam giác ABC 
trên hình vẽ có độ dài các cạnh là 
30AB AC cm và 
30 3BC cm (làm tròn kết quả 
đến số thập phân thứ 2). 
 Lời giải của một nhóm 
Ví dụ 5.2. Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt nghiêng 
để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2m . Cho biết 1 , 3,5AB m AD m . Tính góc 
giữa đường thẳng BD và đáy hố. 
A
B
C 
 43 
 Lời giải của một nhóm 
 Giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động trải nghiệm xung quanh sân 
trường: Đo độ nghiêng của của cây xà cừ bên trước phòng nhà bảo về, tìm hiểu độ 
nghiêng của mái tôn nhà để xe học sinh trước cổng trường. 
 Ví dụ 5.3. Tính góc giữa cây xà cừ bị nghiêng so với phương ngang (mặt 
đất) từ đó cảnh báo mọi nười không nên đi xung quanh gốc xà cừ lúc trời mưa bão 
 44 
 Lời giải của nhóm 1,3 (Tổ 1 và tổ 3) 
 45 
 Ví dụ 5.4. Tính góc giữa mái tôn nhà để xe học sinh so với phương ngang 
(mặt sàn nhà để xe). 
 Lời giải của nhóm 3, 4 (tổ 3, 4) 
 46 
 47 
Chương 3. Tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu 
3.1. Mục đích thực nghiệm 
 Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến. 
3.2. Nội dung thực nghiệm 
Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến. 
3.3. Tổ chức thực nghiệm 
3.3.1. Địa điểm và đối tượng thực nghiệm 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại các lớp 11A1, 11A2, 11A5 trường 
THPT Lê Lợi. 
+ Lớp thực nghiệm: Các lớp 11A1, 11A5 trường THPT Lê Lợi (năm học 
2021 - 2022). 
+ Lớp đối chứng: 11A2 trường THPT Lê Lợi (năm học 2021 - 2022). 
Chúng tôi đã tìm hiểu rất kỹ và nhận thấy trình độ chung về môn toán của 
các lớp 11A1, 11A2, 11A5 trường THPT Lê Lợi là tương đương nhau. 
Trên cơ sở đó, chúng tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại các lớp 11A1, 
11A5 trường THPT Lê Lợi và lấy các lớp 11A2 trường THPT Lê Lợi (năm học 
2021 - 2022) làm lớp đối chứng. 
3.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm 
Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 10/4/2022 đến 15/5/2022. 
Phần lớn số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các tiết luyện tập, tự 
chọn. 
3.3.3. Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện 
 + Công tác chuẩn bị: 
Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm. 
Soạn bài giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. 
Bài kiểm tra thực nghiệm. 
 + Tổ chức thực hiện: 
 * Ở lớp dạy thực nghiệm: 
Dạy theo nội dung sáng kiến trong các giờ luyện tập, tự chọn. Quan sát hoạt 
động học tập của học sinh xem các em có phát huy được tính tích cực, tự giác và 
có phát triển được tư duy sáng tạo hay không. 
Tiến hành bài kiểm tra (45 phút) sau khi thực nghiệm. 
Cho các em giải các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn. 
 48 
* Ở lớp đối chứng: 
Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng 
được giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong sáng kiến nhưng không 
theo hướng đi của sáng kiến. 
Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm. 
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 
Thực tế cho thấy, nhìn chung có khá nhiều em học sinh học tập bị động, máy 
móc, thiếu tính linh hoạt và sáng tạo, không có nhiều tìm tòi để sáng tạo ra bài toán 
mới, học tập không thật sự tích cực. 
 Nhưng tôi vẫn thấy rằng, ở lớp thực nghiệm thì nhìn chung các em tích cực 
hoạt động, học tập sôi nổi và có sự linh hoạt hơn. Đa số các học sinh môn Toán rất 
hứng thú trong buổi học chuyên đề do giáo viên thực hiện. Các em không chỉ nắm 
được cốt lõi cách giải các bài toán mà còn tự xây dựng được các bài toán mới. 
Các giờ học đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và khả năng 
sáng tạo cho các em học sinh lớp 11. Còn ở lớp đối chứng, hoạt động học tập còn 
khiên cưỡng, các em chủ yếu giải toán một cách thụ động, hoặc chỉ giải được bài 
toán mà không khai thác được bài toán đó, ít có khả năng sáng tạo ra cái mới. 
Nhiều em học sinh ở các lớp thực nghiệm đã giải được nhiều bài toán về góc 
trong hhkg sau khi các em đã được giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. 
Đặc biệt trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm học 2022 – 
2023 cả 4 em trong đội tuyển đều giải được bài toán có liên quan đến góc trong 
hình học không gian, kết quả có 3/4 em đạt giải nhì. 
Tôi áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 11A1, 11A5 trường THPT Lê 
Lợi 2021- 2022. 
Khi chưa áp dụng sáng kiến: 
Lớp 
Số 
HS 
Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
11A1 42 4 9,52% 18 42,86% 18 42,86% 2 4,76% 
11A2 42 1 2,38% 12 28,57% 17 40,48% 12 28,57% 
11A5 42 0 0% 10 23,81% 18 42,86% 14 33,33% 
Năm học 2021 - 2022 áp dụng sáng kiến với các lớp 11A1, 11A5 trường 
THPT Lê Lợi và kết quả bài kiểm tra: 
Lớp 
Số 
HS 
Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
 49 
11A1 42 15 35,71% 17 40,48% 10 23,81% 0 0% 
11A5 42 7 16,66% 18 42,86% 17 40,48% 0 0% 
Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc rèn 
luyện năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo cho học sinh thông qua dạy 
học chủ đề về góc trong hình học không gian mà chúng tôi đã đề xuất và thực hiện 
trong quá trình thực nghiệm. 
Phần III. KẾT LUẬN 
1. Đề tài đã giải quyết được vấn đề sau 
- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chủ đề góc trong hình 
học không gian chương trình hiện hành môn hình lớp 11. 
- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải lớp các bài toán về góc trong hình học không 
gian tổng hợp, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 
- Hướng dẫn học sinh xây dựng một số bài toán về góc trong hình học không gian 
tổng hợp, góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 
- Như vậy đề tài đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và tư duy 
sáng tạo, đây là các năng lực đặc thù của bộ môn Toán mà chúng ta cần rèn luyện 
cho học sinh theo chương trình GDPT mới năm 2018. 
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính khả thi và hiệu quả 
của sáng kiến. 
2. Hướng phát triển của đề tài 
Đề tài có thể phát triển lên theo hướng tiếp tục nghiên cứu các bài toán tổng 
hợp có liên quan đến góc trong không gian. 
3. Một số kinh nghiệm rút ra 
3.1. Đối với giáo viên 
Cần chủ động, tích cực tìm hiểu, nghiên cứu chương trình GDPT mới năm 
2018 thông qua việc học tập nghiêm túc các nội dung BDTX theo các Mô đun do 
Sở GD&ĐT tổ chức. 
Tăng cường các hoạt động vận dụng kiến thức toán đã học vào giải các bài 
toán có nội dung thực tiễn. 
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ 
năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành 
tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển phẩm 
chất và năng lực của các em học sinh. 
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học 
sinh. 
 50 
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh. 
Rèn luyện tư duy tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa cho học sinh, 
giúp các em có cách nhìn nhận vấn đề một cách bao quát, cụ thể, có tính hệ thống, 
và giải quyết vấn đề nhanh hơn, có tính lôgic cao hơn... 
3.2. Đối với học sinh 
Việc học tập theo định hướng trên giúp học sinh: 
Không còn bỡ ngỡ, có cách tiếp cận và có kỹ năng tốt hơn trong việc giải 
các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp, hình thành cho bản thân 
năng lực giải quyết vấn đề. 
Biết cách xây dựng bài toán mới từ những kiến thức đã biết, hình thành cho 
bản thân khả năng sáng tạo. 
4. Kiến nghị 
Bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp thường xuyên xuất hiện 
trong các đề thi TNTHPT, đề thi ĐGNL, đề thi HSG cấp trường, đề thi HSG cấp 
tỉnh, . Đề tài này có thể đưa vào giảng dạy lồng ghép trong tiết tự chọn khi 
luyện tập về chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp, phù hợp với mọi đối 
tượng học sinh; góp phần nâng cao chất lượng kết quả bộ môn, tạo niềm đam mê 
học toán cho học sinh. 
Tuy đã cố gắng nỗ lực, song do năng lực chuyên môn và thời gian thực hiện 
có hạn nên đề tài chỉ đạt được một số kết quả mang tính minh họa, các ví dụ còn 
chưa đa dạng. Bên cạnh đó, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong 
quý thầy cô, đồng nghiệp đặc biệt là các chuyên gia góp ý. 
Tôi xin chân thành cảm ơn! 
 Tân Kỳ, ngày 20/4/2023 
 Người thực hiện 
 Nguyễn Văn Tuấn 
 51 
PHỤ LỤC 1 
ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM 
Thời gian làm bài: 45 phút 
Câu 1. Cho hình lập phương .ABCD A B C D (tham 
khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 
 A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 . 
Câu 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình 
vuông, SA ABCD , 3.SA AB (tham khảo hình 
vẽ). Góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy là 
 A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 . 
Câu 3. Cho hình chóp .S ABC có SA ABC , đáy 
ABC là tam giác vuông tại B , SA AB (tham khảo 
hình vẽ). Góc giữa mặt phẳng SBC và mặt đáy là 
 A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 . 
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng .ABC A B C , tam giác 
ABC vuông tại B ; , 2AA a A C a (tham khảo hình 
vẽ). Góc giữa AB C và mặt đáy là 
 A. 030 . B. 060 . C. 045 . D. 090 . 
Câu 5. Cho hình chóp .S ABC có SA ABC , đáy 
ABC là tam giác đều cạnh a , SA a (tham khảo hình 
vẽ). Gọi là góc giữa SC và SAB . Tính tan . 
 A. 
15
5
. B. 
2 15
5
. C. 
15
3
. D. 
2 15
3
. 
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh 
đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . (tham khảo hình bên). 
Tính sin của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp. 
 A. 
13
4
. B. 
15
4
. C. 
11
4
. D. 
14
4
. 
Câu 7. Cho hình chóp .S ABCD có SA ABCD , ABCD là hình vuông cạnh 
a , góc giữa SB và mặt đáy bằng 060 . M là trung điểm của cạnh BC . Tính cosin 
của góc tạo bởi hai đường thẳng DM và SB . 
 A. 
5
5
. B. 
2 5
5
. C. 
3
3
. D. 
6
3
. 
 52 
Câu 8. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2AB a , 
AD a , hình chiếu của S trên ABCD là trung điểm của cạnh AB , góc tạo bởi 
SD và mặt đáy bằng 045 . Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng SBD và 
 SCD . 
A. 
61
31
. B. 
62
31
. C. 
59
31
. D. 
8
31
. 
Câu 9. Cho hình chóp .S ABC có tam giác ABC vuông tại B , 2 ,AB a BC a , 
090SAB SCB . Gọi là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC . Tính 
thể tích của khối chóp .S ABC biết 
6
sin
9
 . 
A. 3
2
3
a . B. 3
1
3
a . C. 3a . D. 32a . 
Câu 10. Cho hình hộp .ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , 
060BAD , tam giác AA B cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt 
đáy, AA tạo với đáy một góc 045 , O là tâm của ABCD , M thuộc cạnh A D 
thỏa mãn 2A M MD , gọi là góc tạo bởi OM và ABB A . Tính cos . 
A. 
31
40
. B. 
33
40
. C. 
34
40
. D. 
30
40
. 
 53 
PHỤ LỤC 2 
THỐNG KÊ KẾT QUẢ KHẢO SÁT 
 54 
 55 
 56 
PHỤ LỤC 3 
MINH CHỨNG KẾT QUẢ BỒI DƯỠNG HSG CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM 
HỌC 2022 - 2023 
 57 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Các bản mẫu sách giáo khoa môn Toán 11. 
[2]. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018. 
[3]. Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành 
Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. 
[4]. Polya G (1995), Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, 
Hà Nội. 
[5]. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nhà xuất bản Giáo dục, 
Hà Nội. 
[6]. SGK hình học 11 chương trình hiện hành. 
[7]. Tài liệu từ Internet.