Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng thông qua các bài toán vận dụng - Vận dụng cao của số phức trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông

ổi 
1 3
1 1 3 3 2 1 3 2 1 2 3
1
i
i z i i z z i
i
Bƣớc 1. Tìm các số thực ,  thỏa mãn: 2 2 3 1 2 .z i z i z i  Ta có hệ 
1
3
2 2
4
1 3 2
 
 

 
Bƣớc 2. Biến đổi 2 2 3 2 3T z i z i . Áp dụng bấy đẳng thức 
Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có : 
26 
2 2 2 22
2 2 2 2 2 2
2 2
1. 2 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3
3 1 1 3 2 3 3 4 8 4 16 44
12 2 4 11 , (*)
T z i z i z i z i
x y x y x x y y
x y x y
Bƣớc 3. Theo giả thiết: 
2 2 2 21 2 3 1 2 9 2 4 4z i x y x y x y 
Do đó 2 12.15 6 5.T T 
Ví dụ 4. Cho số phức z x yi , với ,x y thỏa mãn điều kiện 1 1 3 20i z i 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 .T z i z i 
Lời giải: 
Trước hết ta biến đổi 
 1 3 1 3 20 1 3 1 20 1 2 1 2 1 2i z i i z z z z 
Bƣớc 1. Tìm các số thực ,  thỏa mãn: 2 1 .z i z i z  Ta có hệ 
1
1
2 .
2
1 0
 
 

Bƣớc 2. Biến đổi 1. 1. 2T z i z i . Áp dụng bấy đẳng thức Bunhiacopxki – 
Cauchy – Schwarz ta có : 
2 2 22
2 2 22 2 2 2 2
1. 1. 2 2 2
2 1 2 1 2 2 4 2 6 4 2 3 ,(*)
T z i z i z i z i
x y x y x x y x y x
Bƣớc 3. Theo giả thiết: 
2 2 2 21 2 1 2 2 1z x y x y x 
Do đó 2 16 4.T T 
Ví dụ 5. Cho số phức z x yi , với ,x y thỏa mãn điều kiện 2 1 3 2z i Tìm 
giá trị lớn nhất của biểu thức 1 3 1 2 .T z z i 
Lời giải: 
27 
Bƣớc 1. Tìm các số thực ,  thỏa mãn: 1 1 2 2 1 3 .z z i z i  Ta có hệ 
1 2
3
1
2
2 3
 
 

 
Bƣớc 2. Biến đổi 1. 1 3 3 1 2T z z i . Áp dụng bấy đẳng thức 
Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có : 
2 2 2 22
2 2 22 2 2
1. 1 3 3 1 2 1 3 1 3 1 2
4 1 3 1 2 4 4 4 4 12 16
T z z i z z i
x y x y x y x y
Bƣớc 3. Theo giả thiết: 
2 2 2 22 1 3 3 2 1 2 3 2 4 4 4 12 8z i x y x y x y 
Do đó 2 32 4 2.T T 
6. Công thức NEWTON RAHSON trong giải nhanh phƣơng trình số phức. 
6.1. từ định nghĩa đạo hàm đến công thức Newton Rahpson. 
Trong sách giáo khoa THPT hiện hành, đạo hàm của hàm số ( )f x tại điểm 
0x được định nghĩa như sau: 
0
' 0
0
0
( ) ( )
( ) .lim
x x
f x f x
f x
x x 
Với 0x x ta có thể viết công thức trên dưới dạng 
' 0
0
0
( ) ( )
( ) .
f x f x
f x
x x
Từ đây ta có kết quả 0
0 ' '
0 0
( ) ( )
( ) ( )
f x f x
x x
f x f x
Giả sử x là nghiệm của đa thức ( )f x , nghĩa là ( ) 0f x . Khi đó ta có 00 '
0
( )
( )
f x
x x
f x
Nến ta đổi tên 1,x x thì ta có 
0
1 0 '
0
( )
, (1).
( )
f x
x x
f x
Công thức (1) cho ta tìm thấy giá trị 1x gần đúng là nghiệm của phương trình 
( ) 0f x dựa trên giá trị ban đầu ta chọn là 0x . Nếu cho 1x là giá trị khởi tạo thì sẽ 
28 
tìm được 2x gần đúng nghiệm hơn nữa với công thức 
1
2 1 '
1
( )
( )
f x
x x
f x
 . Nếu lặp lại quá 
trình này nhiều lần chúng ta sẽ thu được giá trị ngày càng gần đúng với nghiệm của 
phương trình ( ) 0f x . 
Quy trình này được viết lại là: 
1 '
( )
, (2).
( )
n
n n
n
f x
x x
f x
Công thức (2) được gọi là công thức Newton Rahpson,dùng để tìm nghiệm gần 
đúng của phương trình ( ) 0f x dựa trên giá trị khởi tạo ban đầu 0x . 
6.2. Công thức Newton Rahpson trong bài toán giải phƣơng trình trên tập 
phức . 
Sử dụng công thức Newton Rahpson để tìm nghiệm của phương trình 
( ) 0f x trên tập số phức bằng máy tính bỏ túi ta làm như sau: 
Bước 1: nhập vào máy tính công thức truy hồi 
'
( )
,
( )
f x
x x
f x
 trong đó '( )f x được 
tính giống như trên tập số thực, chẳng hạn 
'' ' ' '' '2 1 1
2
1
1; 2 ; ; ; 1; 0; 0,...n nz z z z nz z z z i
z
Bước 2: Nhấn phím CALC để nhập giá trị ban đầu 0x , ta có thể chọn bất kỳ giá trị 
nào cho 0x , tuy nhiên thông thường ta chọn 0 1x i . Nhấn dấu “=” nhiều lần liên 
tục, khi nào thấy kết quả không đổi thì đó là nghiệm của phương trình ( ) 0f x . 
Bước 3: Dựa vào kết quả ở bước 2, trả lời các câu hỏi mà bài toán yêu cầu. 
Công thức Newton Rahpson giúp ta tìm nghiệm của nhiều phương trình trên tập số 
phức rất nhanh , phù hợp với đề thi trắc nghiệm . Sau đây là một vài ví dụ minh 
họa cho nhận định này. 
Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn 
10
1 2 2i z i
z
 . Tìm z 
Lƣu ý: Khi sử dụng công thức Newton Rahpson ta nên quy đồng bỏ mẫu các 
phương trình để quá trình bấm phím hội tụ nhanh về nghiệm. 
Lời gải: 
+) Ta có phương trình 
10
1 2 2 1 2 2 10 0i z i i z i z
z
29 
+) Do cần tìm nghiệm của ( ) 1 2 2 10f z i z i z nên ta tìm 
'( )f z . Ta có 
 '( ) 1 2 2f z i z i 
+) Quy trình bấm máy: 
Bước 1: nhập vào máy công thức truy hồi: 
1 2 2 10
1 2 2
i z i z
x x
i z i
Bước 2: Bấm phím CALC rồi nhập giá trị ban đầu 1 i rồi nhấn dấu bằng liên tục 
nhiều lần,khi thấy kết quả gần như không đổi thì ta dừng. 
Bước 3: Bấm phép tính Ans để tìm mô đun của nghiệm gần đúng, khi đó máy sẽ 
cho kết quả bằng 1. 
Từ đó ta có kết quả 1z . 
Ví dụ 2. Cho số phức 0z thỏa mãn 
2(3 1)
.
1
iz i z
z
i
Biết số phức 
2
6
w iz có 
môđun bằng 
13a
b
với ,a b là các số tự nhiên và phân số 
a
b
 là tối giản. Khi đó a b 
bằng bao nhiêu? 
Lời giải: 
+) Ta có 
2
2 2 23 1
3 1 1 3 1 (1 )
1
ziz i z
z iz i z i z iz i i z
i z
2 22 (1 ) (3 1) 0iz i z z i z 
+) Đặt 
2 22( ) (1 ) (3 1)f x iz i z z i z ta có 
2'( ) 2 (1 ) .f x iz i z 
+) Quy trình bấm máy: 
Bước 1: Nhập máy tính công thức truy hồi : 
2 22
2
(1 ) (3 1)
2 (1 )
iz i z z i z
x x
iz i z
Bước 2: Bấm phím CALC rồi nhập giá trị ban đầu 1 i rồi nhấn dấu bằng liên tục 
nhiều lần,khi thấy kết quả gần như không đổi thì ta dừng. 
30 
Bước 3: Bấm phép tính 
2
6
Ans để tìm mô đun của nghiệm gần đúng, khi đó máy 
sẽ cho kết quả bằng 
3 13
26
 . 
Từ đó ta có 
32 3 13
29
266 26
a
z a b
b
Ví dụ 3. Tính môđun của số phức z biết 3 12z i z và z có phần thực dương. 
Lời giải: 
+) Ta có 3 312 12 0z i z z i z 
+) Đặt 3( ) 12f z z i z , ta có ' 2( ) 3 1.f z z 
+) Quy trình bấm máy: 
Bước 1: Nhập vào máy tính công thức truy hồi: 
3
2
12
3 1
z i z
x x
z
Bước 2: Bấm phím CALC rồi nhập giá trị ban đầu 3 i rồi nhấn dấu bằng liên tục 
nhiều lần,khi thấy kết quả gần như không đổi thì ta dừng. 
Bước 3: Bấm phép tính Ans để tìm mô đun của nghiệm gần đúng, khi đó máy sẽ 
cho kết quả bằng 5 . 
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 
1 5
10 4
1
i
z z i
i
 . Đặt 23 4 5w iz z 
biết .w a bi Tính 22 3 3 10.a b b 
Lời giải: 
+) Ta có 
1 5
10 4 1 5 1 1 10 4 0
1
i
z z i i z i z i i
i
+) Đặt (z) 1 5 1 1 10 4f i z i z i i , ta có '(z) 4f i 
+) Quy trình bấm máy: 
Bước 1: Nhập công thức truy hồi :
 1 5 1 1 10 4
4
i z i z i i
x x
i
31 
Bước 2: Bấm phím CALC rồi nhập giá trị ban đầu 1 i rồi nhấn dấu bằng liên tục 
nhiều lần,khi thấy kết quả gần như không đổi thì ta dừng, ta thấy kết quả không đổi 
ở bài toán này là 1 3i , nghĩa là 1 3z i 
Bước 3: Với 1 3z i ta có 
3 2
31
3 4 1 3 5 1 3 31 26 2 3 3 10 2022
26
a
w i i i i a b b
b
Ví dụ 5. Cho số phức ; ,z a bi a b thỏa mãn 2 0.z z z i Tính giá trị của biểu 
thức 22022 2023T a a b 
Lời giải: 
+) Đặt ( ) 2f z z z z i , ta có '( ) 2.f z z 
+) Quy trình bấm máy: 
Bước 1: Nhập vào máy tính công thức truy hồi :
2
2
z z z i
x x
z
Bước 2: Bấm phím CALC rồi nhập giá trị ban đầu 1 i rồi nhấn dấu bằng liên tục 
nhiều lần,khi thấy kết quả gần như không đổi thì ta dừng, ta thấy kết quả không đổi 
ở bài toán này là 0,4142135624i , nghĩa là ta có 0,4142135624 .z i 
Bước 3: với 
0
0,4142135624 0,1715728753.
0,4142135624
a
z i T
b
IV. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM KHẢO SÁT. 
1. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của đề tài. 
1.1 Mục đích khảo sát. 
- Nắm được tính cấp thiết, hiệu quả của đề tài. 
- Nắm được tính khoa học, hợp lý của đề tài. Từ đó điều chỉnh, áp dụng rộng rãi. 
1.2. Nội dung và phƣơng pháp khảo sát 
1.2.1. Nội dung khảo sát: Chủ yếu khảo sát các nội dung sau. 
a. Các giải pháp được đề xuất có thực sự cấp thiết đối với vấn đề nghiên cứu hiện 
nay không? 
b. Các giải pháp được đề xuất có khả thi đối với vấn đề nghiên cứu hiện tại không? 
Nội dung khảo sát học sinh: 
- Hiểu biết của em đối với dạng bài tập toán theo định hướng phát triển năng 
lực đặc biệt là các bài tập về số phức THPT theo ma trận trong giai đoạn hiện nay?
32 
Với 4 mức: Không hiểu biết, hiểu biết một phần, hiểu biết, hiểu biết sâu. 
- Hiểu biết của em về các kỹ năng giải quyết bài toán số phức trong kỳ thi 
tốt nghiệp THPT hiện nay? 
Với 4 mức: Không hiểu biết, hiểu biết một phần, hiểu biết, hiểu biết sâu. 
- Mức độ cấp thiết của việc vận dụng các kỹ năng giải quyết bài toán VD-
VDC của số phức trong đề thi tốt nghiệp THPT 
Với 4 mức: Không cấp thiết, ít cấp thiết, cấp thiết, rất cấp thiết. 
- Tính khả thi của việc sử dụng các kỹ năng giải quyết bài toán VD-VDC 
của số phức trong đề thi tốt nghiệp THPT? 
Với 4 mức: Không khả thi , tí khả thi, khả thi, rất khả thi. 
 Nội dung khảo sát giáo viên: 
- Hiểu biết của thầy cô đối với dạng bài tập toán theo định hướng phát triển 
năng lực đặc biệt là các bài tập về số phức THPT theo ma trận trong giai đoạn hiện 
nay? 
Với 4 mức: Không hiểu biết, hiểu biết một phần, hiểu biết, hiểu biết sâu. 
- Hiểu biết của thầy cô về các kỹ năng giải quyết bài toán số phức trong kỳ 
thi tốt nghiệp THPT hiện nay? 
Với 4 mức: Không hiểu biết, hiểu biết một phần, hiểu biết, hiểu biết sâu. 
- Mức độ cấp thiết của việc vận dụng các kỹ năng giải quyết bài toán VD-
VDC của số phức trong đề thi tốt nghiệp THPT 
Với 4 mức: Không cấp thiết, ít cấp thiết, cấp thiết, rất cấp thiết. 
- Tính khả thi của việc sử dụng các kỹ năng giải quyết bài toán VD-VDC 
của số phức trong đề thi tốt nghiệp THPT? 
Với 4 mức: Không khả thi , tí khả thi, khả thi, rất khả thi. 
33 
1.2.2. Phƣơng pháp khảo sát và thang đánh giá. 
Khảo sát bằng bảng hỏi. Lập google biểu mẫu và gửi link khảo sát cho giáo 
viên và học sinh. Với thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ 1 đến 4): 
Mức độ Mức 1 Mức 2 Mức 3 Mức 4 
Nội dung 
tƣơng ứng 
Không hiểu 
biết 
Hiểu biết một 
phần 
Hiểu biết Hiểu biết sâu 
Không hiểu 
biết 
Hiểu biết một 
phần 
Hiểu biết Hiểu biết sâu 
Không cấp 
thiết 
Ít cấp thiết Cấp thiết Rất cấp thiết 
Không khả thi Ít khả thi Khả thi Rất khả thi 
Điểm số 1 2 3 4 
Tính điểm trung bình X theo phần mềm Excel: 
 1 2 3 4
1.x 2.x 3.x 4.x
X
100
 . Trong đó: x1 là % đánh giá mức 1, x2 là % đánh giá 
mức 2, x3 là % đánh giá mức 3, x4 là % đánh giá mức 4 
1.3. Đối tƣợng khảo sát. 
Đối với học sinh. Học sinh lớp chúng tôi đang dạy thực nghiệm gồm 12T2, 12T5 
và 12A1. 
Đối với giáo viên. Toàn bộ giáo viên tại trường chúng tôi đang công tác và một số 
giáo viên ở trường khác. 
34 
Tổng hợp các đối tƣợng khảo sát 
TT Đối tƣợng Số lƣợng 
1 Học sinh 3 lớp 12T2, 12T5,12A1 70 
2 Giáo viên môn toán trường THPT Đô Lương 1 11 
3 Giáo viên môn toán trường THPT Đông hiếu 2 
Tổng 83 
1.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề 
xuất 
1.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất. 
Khảo sát học sinh Khảo sát giáo viên 
Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất 
TT Các giải pháp 
Các thông số 
X Mức 
1 
Mức độ cấp thiết của việc vận dụng các kỹ năng 
giải quyết bài toán VD-VDC của số phức trong đề 
thi tốt nghiệp THPT 
GV: 3,7 4 
HS: 2,97 3 
Từ số liệu thu được ở bảng trên có thể rút ra nhận xét: cần cấp thiết có một 
giải pháp để giúp học sinh có thể lĩnh hội kiến thức được dễ dàng hơn. Giải pháp 
chúng tôi đã đưa ra là cấp thiết. 
1.4.2. Tính khả thi của các giải pháp. 
Khảo sát học sinh: 
35 
Khảo sát giáo viên 
Đánh giá tính khả thi của giải pháp đề xuất 
TT Các giải pháp 
Các thông số 
X Mức 
1 
Tính khả thi của việc sử dụng các kỹ năng giải 
quyết bài toán VD-VDC của số phức trong đề thi 
tốt nghiệp THPT? 
GV: 3,7 4 
HS: 3,96 3 
Từ số liệu thu được ở bảng trên có thể rút ra nhận xét: 
 Qua khảo sát của chúng tôi khi giảng dạy tại trường sở tại cũng như trao đổi 
với các đồng nghiệp giảng dạy ở một số trường trên địa bàn tỉnh Nghệ An thấy 
rằng những lớp được giảng dạy các em có định hướng tốt hơn, Tính khả thi của 
việc sử dụng các kỹ năng giải quyết bài toán VD-VDC của số phức trong đề thi 
tốt nghiệp THPT?. Từ chỗ các em rất lúng túng, không có định hướng khi giải các 
bài tập này, sau khi học xong đề tài này thì phần lớn các em đã biết vận dụng 
những kĩ năng, kiến thức trong đề tài để áp dụng vào bài tập. Từ đó hầu hết các em 
đã thích thú khi học phần kiến thức này, khiến các em đam mê và yêu thích và đạt 
các kết quả cao hơn trong các bài kiểm tra, qua các kỳ thi. 
Ngược lại những lớp không được tiếp cận với đề tài thì các em giải dạng bài 
tập này kém và chậm hơn hẳn so với các bạn được tiếp cận với đề tài. Các em 
thường không có định hướng được phương pháp giải, dẫn tới không thể thực hiện 
được dạng bài tập này, làm cho các em cảm giác dạng bài tập này quá khó và cảm 
thấy chán nản khi tiếp xúc với dạng bài tập về min,max của số phức trong đề thi tốt 
nghiệp THPT. 
Giải pháp “Giúp học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giao tiếp 
toán học thông qua các bài toán vận dụng-vận dụng cao của số phức trong đề thi 
tôt nghiệp trung học phổ thông”có tính khả thi rất cao. 
36 
C. KẾT LUẬN 
1. Ý nghĩa của đề tài. 
Cơ sở khoa học của đề tài là kết quả của quá trình nghiên cứu các tài liệu 
tham khảo với tính pháp lí và độ tin cậy cao, từ đó trình bày được cơ sở lý luận rõ 
ràng, vững chắc, là nền tảng để triển khai các nội dung phía sau một cách liền 
mạch, có hệ thống. Các phương pháp nghiên cứu phù hợp với đối tượng nghiên 
cứu và tình hình thực tế địa phương, cấu trúc đề tài được trình bày một cách logic, 
mạch lạc, rõ ràng. Do đó, việc triển khai hay phát triển nội dung đề tài vào thực 
tiễn sẽ mang lại hiệu quả đáng kể. 
Đề tài này đã được tác giả áp dụng trong các đơn vị lớp mình giảng dạy và 
nhận được phản hồi tích cực đến từ học sinh cùng các đồng nghiệp tham dự. Về 
phía học sinh: các em được mở mang kiến thức, mở rộng môi trường học tập, giao 
tiếp, rèn luyện kỹ năng sống một cách hiệu quả. Các em được bộc lộ sở trường của 
bản thân, được thể hiện mình và nhận thức được tầm quan trọng của việc phát triển 
bản thân một cách toàn diện để chuẩn bị tốt cho công việc và cuộc sống trong 
tương lai. Về phía giáo viên,tổ chức, đã giúp giáo viên cảm thấy yêu hơn, say mê 
hơn với công việc, tạo động lực để giáo viên không ngừng học tập, đổi mới, đáp 
ứng những yêu cầu của thời đại mới đối với nghề giáo. 
Đặc biệt trong đề tài kỹ thuật UCT (đồng nhất hệ số) kết hợp với bất đẳng 
thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz giúp giải nhanh bài toán tìm giá trị lớn nhât 
của số phức nó tương đối mới chưa từng được ai công bố và tính năng này sẽ được 
ứng dụng rộng rãi hơn trong các bài toán đánh giá, min, max... 
2. Kiến nghị, đề xuất. 
Đề tài này giới thiệu rộng rãi đến học sinh lớp 12 và giáo viên dạy ,tuy nhiên 
các ví dụ cần sưu tập thêm , với sự công tác của ban đọc chắc chắn đề tài sẽ đem 
nhiều lợi ích . Ngoài ra lời giải có thể chưa có sự tối ưu rất mong sự góp ý chân 
thành! 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Báo toán học tuổi trẻ. 
2. Phân dạng và giải số phức của thầy Nguyễn Văn Qúy. 
3. Chuyên đề các ứng dụng số phức của thầy Đặng Việt Đông. 
4. Đề thi tốt nghiệp THPT các năm. 
37