Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ một hoạt động trong sách giáo khoa

dấu tại điểm 
nghiệm của ' 0y = và các điểm 'y không xác định. 
Ta xét bài toán tổng quát tìm số điểm cực trị hàm số ( ) ( )y f x g x= + 
Ta có: '( ). ( )' '( )
( )
f x f x
y g x
f x
= + , 'y không xác định tại ( ) 0f x = tại ix 
'( ). ( )
y' 0 '( ) 0
( )
f x f x
g x
f x
= + = 
Nếu ( ) 0f x thì y' 0 '( ) '( ) 0(1)f x g x= + = 
Nếu ( ) 0f x thì y' 0 '( ) '( ) 0(2)f x g x= − + = 
Lúc đó ta tìm nghiệm (1), (2) và ix sắp xếp thứ tự qua bảng biến thiên phân tích 
dấu 'y theo từng bài toán cụ thể. 
Trên khoảng nghiệm ( ) 0f x dấu của 'y là dấu của '( ) '( )f x g x+ 
Trên khoảng nghiệm ( ) 0f x dấu của 'y là dấu của '( ) '( )f x g x− + . 
Từ đó có thể kết luận số điểm cực trị trực tiếp hoặc thông qua bảng biến thiên. 
Từ các ví dụ cụ thể thì có thể nhìn tổng quát về sự đổi dấu của 'y qua các trường 
hợp của bài toán. 
Bài 3.1.6. Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm  2'( ) 4 , 2;2f x x x x= −  − . Tìm số 
điểm cực trị của hàm số 2( ) ( ) 1g x f x x= − − ? 
Giải 
Ta có: ( )
( ) ( )2 2
2
2 2
2 1 2 1
g' '( ) 4
1 1
x x x x
x f x x x
x x
− −
= − = − −
− −
g'( )x không xác định tại 2 1 0 1x x− = = 
( )
( )2
2
2
2 1
g' 0 4 0
1
x x
x x x
x
−
= − − =
−
Nếu 
1 2
2 1
x
x
 − − 
 thì ( )2 2g'( ) 0 4 2 0 4 2 0 0( )x x x x x x x l= − − = − − = = 
Nếu 1 1x− thì ( )2 2g'( ) 0 4 2 0 4 2 0 0x x x x x x x= − + = − + = = 
( )g' 0x = có một nghiệm thuộc khoảng ( 1;1)− suy ra g'( )x đổi dấu qua nghiệm và tại 
hai điểm không xác định 1x = nên hàm số ( )y f x= có ba điểm cực trị. 
3.2. Bài toán phát triển có chứa tham số . 
Bài 3.2.1. Cho hàm số 2( ) ( 2 )f x x x= − , với m là tham số thực, có bao nhiêu giá trị 
nguyên của ( 10;10)m − để hàm số ( )( ) 3g x f x x m= + + có 3 điểm cực trị? 
Giải: 
Ta có : ( )
( ). '( )
g' 3
| ( ) |
f x f x
x
f x
= + 
 45 
 '( )g x không xác định tại 2( ) ( 2 ) 0 0; 2f x x x x x= − = = = 
( )
( ). '( )
g' 0 3 0
| ( ) |
f x f x
x
f x
= + = 
Nếu 
2
0
x
x
 thì 
1
'( ) 0 '( ) 3 0 2 1 0
2
g x f x x x= + = + = = − 
Nếu 0 2x thì 
5
'( ) 0 '( ) 3 0 2 5 0 ( )
2
g x f x x x l= − + = − + = = 
Ta có bảng biến thiên hàm số ( )( ) 3g x f x x m= + + 
Dựa vào bảng biến thiên để hàm số có ba điểm cực trị thì đồ thị 
( )( ) 3g x f x x m= + + cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 
1 1
0
4 4
m m − + vì 
m nguyên và ( 10;10)m − nên có { 9;...;0}m − . Vậy có 10 giá trị m thỏa mãn bài 
toán. 
Bài 3.2.2. Cho hàm số 3 2( ) ( 3 )f x x x= − , với m là tham số thực, có bao nhiêu giá trị 
nguyên của [ 2022;2022]m − để hàm số ( ) 2( )g x f x x x m= − − + có 5 điểm cực trị? 
Giải: 
Ta có: 3 2 2( ) ( 3 ) '( ) 3 6f x x x f x x x= − = − 
( )
( ). '( )
g' 2 1
| ( ) |
f x f x
x x
f x
= − − 
 '( )g x không xác định tại 3 2( ) ( 3 ) 0 0; 3f x x x x x= − = = = 
( )
( ). '( )
g' 0 2 1 0
| ( ) |
f x f x
x x
f x
= − − = 
Nếu 3x thì 2
4 19
'( ) 0 '( ) 2 1 0 3 8 1 0 ( )
3
g x f x x x x x l
= − − = − − = = 
Nếu 3x thì 2
1
'( ) 0 '( ) 2 1 0 3 6 2 1 0 1
3
x
g x f x x x x x
x
= 
 = − − − = − + − − = 
 =
Bảng biến thiên hàm số 
x
'y
y
− + 
−'y
+ + 
0
1
3 3
0 ++
1
0'y
12 m− +4
27
m
−
+
m
x
'( )g x
( )g x
− + 
+'y
+ + 
0 2
1
4
m− +
+
1
2
−
0 +
 46 
Dựa vào bảng biến thiên để hàm số có năm điểm cực trị thì đồ thị 
( ) 2( )g x f x x x m= − − + cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 
0
4
12 0
27
m
m m
 −
 − + +
 vì m nguyên và [ 2022;2022]m − nên { 2022;...;0;1;...;11}m − . 
Vậy có 2034 giá trị m thỏa mãn bài toán. 
Bài 3.2.3. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của [ 5;5]m − để hàm số 
2( ) 1 2 6f x x m x m= + − − + có 3 điểm cực trị? 
Giải: 
Ta có: đặt hàm số ( )g 6 '( ) 1x x m g x= − + = 
g( ).g'( )
'( ) 2 2
| g( ) |
x x
f x x m
x
= − 
'( )f x không xác định tại g( ) ( 6) 0 6x x m x m= − + = = − 
g( ).g'( )
'( ) 0 2 2 0
| g( ) |
x x
f x x m
x
= − = 
Nếu 6x m − thì '( ) 0 2 2 0f x x m x m= − = = 
Nếu 6x m − thì '( ) 0 2 2 0f x x m x m= + = = − 
Để hàm số có ba điểm cực trị thì '( ) 0f x = có nghiệm ,x m x m= = − thỏa mãn 
Suy ra có 
6
2 6 3
6
m m
m m
m m
 − 
− − 
 vì [ 5;5]m − và nguyên nên 4, 5m m= = . 
Vậy tổng các giá trị bằng 9. 
Bài 3.2.4. Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm 2'( ) 8 , 8; 8f x x x x = −  − . Có tất cả 
bao nhiêu giá trị nguyên của [ 2022;2022]m − để hàm số 
2( ) ( )g x f x x m= − − có 3 điểm cực trị? 
Giải: 
Ta có: ( )
( ) ( )2 2
2
2 2
2 2
g' '( ) 8
x x m x x m
x f x x x
x m x m
− −
= − = − −
− −
g'( )x không xác định tại 2 0x m x m− = = ( vì m nguyên dương) 
( )
( )2
2
2
2
g' 0 8 0
x x m
x x x
x m
−
= − − =
−
. 
Xét trường hợp 0m ta có: 
Nếu 
x m
x m
 − 
 thì ( )2 2
0( )
g'( ) 0 8 2 0 8 2 0 (1)
2
x l
x x x x x x
x
= 
= − − = − − = = 
Nếu m x m− thì ( )2 2g'( ) 0 8 2 0 8 2 0 0(t/ m)x x x x x x x= − + = − + = = 
Để hàm có ba điểm cực trị thì (1) có hai nghiệm phân biệt hay 2 0 4m m 
 47 
Xét trường hợp 0m = ta có: 2( ) ( )g x f x x= − 2g'( ) 0 8 2 0x x x x = − − = 
( )2
0
8 2 0
2
x
x x
x
= 
 − − = = 
 suy ra g'( ) 0x = có ba nghiệm và g'( )x đổi dấu qua 
ba nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị. 
Xét trường hợp 20 0,m x m m −  nên ta có ( )2( ) ( )g x f x x m= − − g'( ) 0x =
'( ) 2 0f x x − = ( )2
0
8 2 0
2
x
x x
x
= 
 − − = = 
 suy ra g'( ) 0x = có ba nghiệm và 
g'( )x đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị . 
Vậy 
0 4
0
m
m
 . Vì m nguyên và [ 2022;2022]m − nên có 2026 giá trị m thỏa mãn. 
3.3. Các bài toán liên quan . 
Bài 3.3.1. Cho hàm số 2 3 2( ) 2 . 5 1f x x m x m m m= − − + + − + . Có bao nhiêu giá trị 
nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 20;20]− để hàm số đã cho có đúng một điểm 
cực trị? 
A. 23 B. 40 C. 20 D. 41 
(Đề thi thử trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2020) 
Giải: 
Ta có 2 3 2( ) 2 . 5 1f x x m x m m m= − − + + − + 
2 .( 5)
'( ) 2
5
m x m
f x x
x m
− +
 = −
− +
'( )f x không xác định tại 5 0 5x m x m− + = = − 
Nếu 5x m − thì '( ) 0 2 2 0f x x m x m= − = = (t/m) (1) 
Nếu 5x m − thì '( ) 0 2 2 0 (2)f x x m x m= + = = − . 
Từ (1) hàm số có một điểm cực trị tại x m= nên để hàm số có một điểm cực trị thì 
(2) vô nghiệm suy ra 
5
5
2
m m m− − . Vậy có 23 giá trị nguyên của m thỏa mãn 
bài toán. 
Bài 3.3.2. Cho hàm số 2 6 5 2 2y x x m x= − + + + − . Gọi S là tập các giá trị nguyên 
của tham số m thuộc đoạn 18;18− để hàm số trên có có điểm cực đại. Tính tổng 
các phần tử của S ? 
Giải: 
Xét hàm số 2( ) 6 5f x x x m= − + + là tam thức bậc hai có ' 4 m = − 
( ) 2 2y f x x= + − 
TH1: ' 4 0 4m m = − ta có 2 4 3y x x m= − + + là parabol có một điểm cực tiểu 
(loại) 
TH2: ' 4 0 4m m = − khi đó 12
2
3 4
( ) 6 5 0
3 4
x m x
f x x x m
x m x
 = − − =
= − + + = 
= + − = 
 48 
( ). '( )
' 2
| ( ) |
f x f x
y
f x
= + 
'( )f x không xác định tại 1 2;x x x x= = 
2 2 2
2 2 2
2
2
4 3 6 5 0 2 4 6 5 0
'
8 7 6 5 0 2 8 6 5 0
2 6 5 0
' 0
4 6 5 0
x x m khi x x m x khi x x m
y y
x x m khi x x m x khi x x m
x khi x x m
y
x khi x x m
 − + + − + + − − + + 
= = 
− + − − − + + − + − + + 
 = − + + 
 = 
= − + + 
Nếu 1 23 4 2m x x có bảng biến thiên 
Lúc đó hàm số có một cực trị (loại) 
Nếu 1 23 2m x x= = có bảng biến thiên 
Hàm số có một cực trị (loại) 
Nếu 1 23 4m x x có bảng biến thiên 
Hàm số có một điểm cực đại (thỏa mãn bài toán). Vậy 3m vì m nguyên thuộc 
đoạn 18;18− nên { 18; 17;...;2}m − − . Tổng 168S = − 
Bài 3.3.3. Cho hàm số 2( ) 4 3f x x x mx= − + + . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 
số m để hàm số có ba điểm cực trị? 
Giải: 
x
'y
y
− + 
−'y
+ + 
1x 2x
0 ++
4
x
'y
y
− + 
+'y
+ + 
1x 2x
+
2
0 +
x
'y
y
− + 
+'y
+ + 
2 2x
+
 49 
Ta có 
( )2
2
(2 4). 4 3
'( )
4 3
x x x
f x m
x x
− − +
= +
− +
'( )f x không xác định tại 2 4 3 0 1; 3x x x x− + = = = 
Nếu 
1
3
x
x
 thì 
4
'( ) 0 2 4 0
2
m
f x x m x
−
= − + = = 
Nếu 1 3x thì 
4
'( ) 0 2 4 0
2
m
f x x m x
+
= − + + = = 
Xét 
4
2 3
2
m
m
−
 − có bảng biến thiên 
(Với
4
2 3
2
m
m
−
= − = ) Tương tự hàm số có một điểm cực trị. 
Xét 2m 
4
1
2
m−
 có bảng biến thiên 
( Với 
4
2 1
2
m
m
−
= = ) Tương tự hàm số có một điểm cực trị 
Xét 2 2m− 
4
1 3
2
m+
 có bảng biến thiên 
Hàm số có ba điểm cực trị. Vậy 2 2m− suy ra có ba giá trị { 1;0;1}m − thỏa 
mãn. 
Do khuôn khổ đề tài nên nội dung 1.3 đối với bài toán cùng dạng không giải chi 
tiết và nội dung 3.3 chỉ nêu được những bài toán liên quan cùng dạng. 
x
'y
y
− + 
−'y
+ + 
1
4
2
m−
3
0 +'y
x
'y
y
− + 
+'y
+ + 
1 3
+
4
2
m−
0 +
x
'y
y
− + 
−'y
+ + 
1 3
0 ++
4
2
m+
 50 
IV. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM. 
Khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy thì tùy từng lớp và đối tượng học 
sinh tôi lựa chọn phần dạy và dạng bài tập thích hợp. 
+ Đối với học sinh trung bình tôi lựa chọn dạy từ hoạt động sách giáo khoa 
dẫn đến bài toán tìm số cực trị của hàm số chúa dấu giá trị tuyệt đối và các mục 
1.1; 2.1; 3.1 cho học sinh qua các bài tập cụ thể để nhận biết vấn đề. Tôi lựa chọn 
giải thích các vấn đề bằng đồ thị và vẽ trực tiếp trên GeoGebra, sau đó học sinh có 
thể nhận xét về dạng đồ thị hàm trị tuyệt đối, nhận xét về dạng đồ thị ( )y f x m= + 
hay đồ thị ( )y f x m= + khi biết đồ thị ( )y f x= . 
+ Đối với học sinh khá tôi lựa chọn dạy đến các mục 1.2; 2.2, 3.2 từ các bài 
tập cụ thể học sinh nhận biết và giải thích vấn đề bằng đồ thị nhưng chuyển tiếp 
cho học sinh dùng bảng biến thiên vào giải bài tập. 
+ Đối với học sinh giỏi tôi lựa chọn dạy hết các mục và yêu cầu học sinh phát 
triển các dạng bài toán đó hay ra bài tập tương tự. Học sinh phải thực hiện được 
linh hoạt bài toán dựa trên đồ thị cũng như bảng biến thiên. 
Đề tài được áp dụng trong năm học 2021-2022 vào một số lớp 12 của trường 
và được đánh giá là có hiệu quả. 
Trong quá trình giảng dạy của bản thân và đồng nghiệp, chúng tôi nhận thấy 
học sinh hứng thú hơn và quan tâm nội dung sách giáo khoa hơn. Học sinh đã tìm 
hiểu vấn đề này đưa ra từ sách giáo khoa được phát triển thành những dạng bài 
toán nào. 
Năm học 2021 – 2022 tôi chọn áp dụng đề tài đối với đối tượng học sinh của 
trường tôi. cụ thể là tôi chọn hai thực nghiệm là lớp 12A1, 12A10 ( Trong đó lớp 
12A1 là lớp có học lực tốt) và hai lớp đối chứng là lớp 12A5, 12A12 ( Trong đó 
lớp 12A5 là lớp có học lực tốt) các lớp này có số lượng học sinh, chất lượng là 
tương đương nhau. Qua hai bài kiểm tra 15 phút hình thức trắc nghiệm và hai bài 
kiểm tra 45 phút theo hình thức trắc nghiệm kết hợp tự luận, tôi thu được kết quả 
như sau: 
Lớp 
Tiêu chí 
Lớp thực nghiệm 
( Tổng số học sinh: 85 em ) 
Lớp đối chứng 
( Tổng số học sinh: 86 em ) 
Điểm < 3 0,5% 3,5% 
Điểm từ 3 đến < 5 3,7% 6,8% 
Điểm từ 5 đến < 8 46,9% 57,6% 
Điểm từ 8 đến 10 48,9% 32,1% 
Qua bảng kết quả thực nghiệm cho thấy việc áp dụng đã đem lại kết quả cao, nhất 
là đối với học sinh có học lực khá giỏi. 
 51 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. KẾT LUẬN. 
Với kết quả thu được bước đầu cho phép tôi kết luận rằng: 
Việc dạy học môn toán bám sát nội dung được triển khai trong sách giáo khoa 
và giáo viên cần định hướng giúp học sinh hiểu và phát triển nội dung đó với các 
dạng bài toán nào là cần thiết . Giúp các em học tập chủ động hơn qua tìm hiểu 
sách giáo khoa. Từ đó các em quan tâm tìm hiểu sách giáo khoa nhiều hơn, hiểu 
nội được viết một cách sâu sắc hơn và phát triển được nội dung đó sẽ là những 
dạng toán nào liên quan có những dạng bài tập nào. Rồi các em lại tiếp tục tìm hiểu 
nó qua các nguồn tài liệu khác một cách hứng thú hơn. 
Muốn dạy học sinh một dạng toán mới nên đi từ các bài toán cụ thể từ đó 
giúp học sinh hiểu và phát triển năng lực giải quyết bài toán phức tạp hơn. 
2. KIẾN NGHỊ. 
Kết quả thực nghiệm đã cho thấy việc việc áp dụng đề tài vào dạy học sẽ cho 
kết quả cao, do đó có thể mở rộng áp dụng đề tài cho các trường THPT. 
Đề tài tài được viết xuất phát từ thực tế giảng dạy và đúc rút kinh nghiệm của 
bản thân cùng với mong muốn học sinh chủ động học tập tìm hiểu sách giáo 
khoa, cùng với sự giúp đỡ của giáo viên học sinh có thể hiểu và phát triển các dạng 
và bài toán mới từ những vấn đề đã được nêu trong sách. 
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song chắc hẳn đề tài vẫn còn nhiều hạn chế, rất 
kính mong đực sự góp ý kiến, phê bình của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn 
thiện hơn và thực sự bổ ích, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn! 
Diễn Châu ngày 22 tháng 4 năm 2022 
Tác giả 
 52 
TÀI LIỆU THAM KHẢO: 
1. Sách giáo khoa giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam. 
2. Sách bài tập giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam 
3. 
4. 
5. Một số tài liệu của đồng nghiệp và tìm hiểu từ các nguồn trên mạng internet. 
6. Đề thi THPT Quốc gia và đề thi TN THPT năm từ năm 2017 đến năm 2021 
7. Một số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh. 
MỤC LỤC 
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ: ........................................................................................ 1 
PHẦN II. NỘI DUNG ............................................................................................. .3 
I. CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN ............................................................... .3 
II. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ............................................................... 3 
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI ......................................................................................... 3 
Hoạt động mở đầu ................................................................................................... .3 
1. Bài toán cực trị hàm số ( )y f x= ....................................................................... .5 
1.1. Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua bài toán cụ thể ................... .5 
1.2. Bài toán phát triển có chứa tham số và dạng hàm ẩn có chứa tham số ........... 16 
1.3. Các bài toán liên quan ...................................................................................... 21 
2. Bài toán cực trị hàm số ( )y f x= ....................................................................... 24 
2.1. Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua bài toán cụ thể ................... 24 
2.2. Bài toán phát triển có chứa tham số và dạng hàm ẩn có chứa tham số ........... 30 
2.3. Các bài toán liên quan ...................................................................................... 36 
3. Bài toán cực trị hàm số ( ) ( )y f x g x= + ............................................................... 41 
3.1. Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua bài toán cụ thể: .................. 41 
3.2. Bài toán phát triển có chứa tham số và dạng hàm ẩn có chứa tham số ........... 44 
3.3. Các bài toán liên quan ...................................................................................... 47 
IV. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ............................................................................ 50 
PHẦN III. KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ ..................................................................... 51