Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai, căn bậc ba

Toán học là môn khoa học, toán học có vai trò rất quan trọng, là chìa khóa cho các ngành khoa học khác, toán học đa dạng và phong phú, mỗi nội dung toán học đều có những đặc trưng và áp dụng của nó. Cùng với sự phát triển của đất nước, thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, phát triển và hội nhập thì việc tiếp thu khoa học hiện đại của thế giới. Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi ngay từ việc học của trò phải có kiến thức vững vàng, những lập luận chặt chẽ. Những người hướng dẫn các em tiếp thu kiến thức là những thày, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy các em, nhà trường không thể luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được, điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức cần thiết cho bài học, để vận dụng vào làm bài tập.

Qua nhiều năm là giáo viên giảng dạy trên lớp tôi thấy rằng việc truyền thụ kiến thức cho các em mới chỉ là một chiều, là chỉ mới chỉ cho các em thấy cái đúng, lời giải đúng, mà chưa chỉ cho các em tìm cái sai trong khi làm toán mà các em hay gặp để các em suy nghĩ sâu sắc hơn cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo.

29 trang Hương Thủy 16/06/2025 170

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai, căn bậc ba", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai, căn bậc ba

iải đúng.
a) Vì nên ta có , từ đó ta có 
 và 
==
 	Nếu x thì 
 	Nếu 0 thì 
b)Với y >0, ta có 
=
Nếu y<1 thì 
Nếu y>1 thì 
Dạng 2: sai lầm trong giải phương trình. 
Bai 1. Tìm x, biết:
 (1)
Lời giải sai.
Biểu thức x2-2x+1
(1)
Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ học sinh mới chỉ lấy một trường hợp, mà khi giải loại bài tập này cần sử dụng .
Lời giải đúng.
(1)
*Trường hợp 1: x-1=3x=4
*Trường hợp 2: x-1=-3x=-2
Bài 2: Giải phương trình :
Lời giải sai:
Ta có 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1=0; x2=-3
 	Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ với điều kiện x thì vế phải chưa chắc đã không âm, vì vậy việc bình phương hai vế đã không đúng vì x2=-3 là bị loại.
 	Khắc phục sai lầm. Khi giải dạng toán cần lưu ý 
Lời giải đúng.
So sánh điều kiện x=-3 (bị loại) , x=0 (TM) 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=0
Bài 3: Giải phương trình.
(1)
Lời giải sai:
+ Khi 
 Ta có (1)
Với điều kiện khi đó ta có 
Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng .
+ Khi x<0
(1)
Với điều kiện x<0 khi đó ta có
 Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x<0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Phân tích sai lầm. Sai ở đây là khi x=0 phương trình đã cho vẫn tồn tại, như vậy học sinh đã vô tình chia cả hai vế cho biểu thức chứa ẩn và làm mất nghiệm của phương trình.
Khắc phục sai lầm.Không được chia hai vế phương trình cho một biểu thức chứa ẩn khi chưa kiểm tra biểu thức đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không.
Cần lưu ý Khi A0 ;B0
 khi A0 ;B0
 	Lời giải đúng.
+ Khi x=0 thỏa mãn phương trình , vậy x=0 là một nghiệm của phương trình 
+ Khi x>0 
 (1)
 Điều kiện khi đó ta có 
Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x>0.
+ Khi x<0
(1)
Với điều kiện x<0 khi đó ta có
 Phương trình đã cho vô nghiệmtrong khoảng x<0
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x=0
Bài 4. Giải phương trình 
Lời giải sai:
Điều kiện xác định của phương trình là .
So với điều kiện thì x=là nghiệm phương trình 
Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ các em đã bình phương hai vế phương trình mà chưa chú ý đến điều kiện là hai vế phương trình phải cùng dấu .việc sử dụng kiến thức ( khi a,b cùng dấu )
 	Khắc phục sai lầm. Khi bình phương hai vế của một phương trình học sinh cần chú ý đến hai vế phải cùng dấu nghĩa là ( khi a,b cùng dấu )
Lời giải đúng.
Điều kiện xác định của phương trình là .(1)
Chuyển vế, ta có 
Bình phương hai vế của phương trình được
Rút gọn thành 2-7x= ( *)
Đến đây có hai cách giải.
Cách 1: Với điều kiện (2)
Thì (*) 
Giá trị không thỏa mãn điều kiện (1), loại.
Giá trị không thỏa mãn điều kiện (2), loại.
Vậy phương trình vô nghiệm. 
Cách 2: Ta xét tức là trái với điều kiện (1) . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Tuy nhiên nếu điều kiên bài toán khó xác định có thể học sinh làm sau đó thử lại để kết luận về nghiệm phương trình.
Bài 5. Giải phương trình.
(1)
Lời giải sai.
Điều kiện: hoặc 
(1)
 (2)
Đặt: với 
(2)
 y1=-1 (loại) , y2=-3 (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 Phân tích sai lầm. Tuy bài làm tưởng như là đúng, nhưng sai ở đây là học sinh đã cho vào trong dấu căn biểu thức , biểu thức (x-2) chưa thể khẳng định là biểu thức dương, nên kết quả bài toán là không đúng.
Khắc phục sai lầm. Khi đưa một thừa số vào trong dấu căn phải vận dụng
Với và ta có .
Với và ta có .
 Lời giải đúng.
 Điều kiện: hoặc 
Đặt: (2)
Thì y2=(x-2)(x+2). (3)
Ta có y2+4y+3=0 nên y1=-1, y2 =-3. Do y<0 nên từ (2) suy ra x<2 
Với y=-1, thay vào (3) đượcx2-4=1. Do x<2 nên x=
Với y=-3, thay vào (3) đượcx2-4=9. Do x<2 nên x=
Vậy phương trình có hai nghiệm là ; 
Bài 6. Giải phương trình.
 (1)
Lời giải sai.
Lập phương hai vế, ta được (2)
Thay Vào (2) ta có 3x+1+3 (3)
Phân tích sai lầm. Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các phương trình (2) và (3) không tương đương. Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3) không suy ra được (2).
 	Khắc phục sai lầm. Khi tìm được nghiệm của phương trình (3) là 0 và -1, phải thử lại các giá trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1)
Lời giải đúng.
Lập phương hai vế, ta được (2)
Thay Vào (2) ta có 3x+1+3 (3)
Thử lại x1=0 thỏa mãn (1) 
 x2=-1 không thỏa mãn (1), loại.
Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x=0.
Dạng 3: sai lầm trong giải bất phương trình. 
Bài 1. Tìm x để biểu thức có nghĩa :
 	Lời giải sai.
có nghĩa khi 
 	Phân tích sai lầm. Tuy học sinh đã vận dụng đúng kiến thức có nghĩa khi A0, nhưng việc giải bất phương trình, kết hợp nghiệm của bất phương trình lại sai.
Khắc phục sai lầm. khi dạy nội dung này cần chú ý hướng dẫn cho học sinh và phân tích kĩ nội dung giải bất phương trình và kết hợp nghiệm.
 	Lời giải đúng.
có nghĩa khi hoặc x < -1
 Cũng có thể làm như sau có nghĩa khi hoặc sau đó giải tiếp và tìm được x>1 hoặc x <-1
Bài 2. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.
Lời giải sai.
biểu thức có nghĩa khi(x-1)(x+3)
Phân tích sai lầm. Trong trường hợp này học sinh khi làm bài đã chỉ nghĩ đến trường hợp tích hai thừa số dương là một số dương, mà không nghĩ đến hai thừa số cùng âm thì tích cũng là một số dương. 
Khắc phục sai lầm. Khi dạy nội dung này cần chú ý đến A.B0 khi và chỉ khi A;B cùng dấu, có hai trường hợp A;B cùng dương hoặc cùng âm.
Lời giải đúng.
Biểu thức có nghĩa khi(x-1)(x+3) hoặc . Vậy biểu thức có nghĩa khi x 1 hoặc x -3
Đôi khi trong bài tập này còn có học sinh đã xét hai trường hợp như trên nhưng lại kết hợp nghiệm sai, vì vậy giáo viên phải lưu ý cho học sinh việc kết hợp nghiệm hệ bất phương trình.
Bài 3. Tìm x, biết.
Lời giải sai.
Điều kiện : x 0
Phân tích sai lầm. Sai ở đây là x<1 có thể x<0, vi phạm điều kiện vừa tìm.
Khắc phục sai lầm. Vì vậy khi dạy nội dung này cần lưu ý đến đối chiếu với điều kiện của bài toán đã cho hoặc điều kiện đã tìm, khi đã tìm được giá trị x rồi mới kết luận.
Lời giải đúng.
Điều kiện: x 0
.Kết hợp điều kiện 
Bài 4. Giải bất phương trình .
(1)
Lời giải sai :
Điều kiện của bất phương trình là:
(1)
Hoặc bị loại
Vậy bất phương trình có nghiệm x>9
Phân tích sai lầm. Cũng giống như bài 4 phần (sai lầm khi giải phương trình), học sinh sau khi đặt điều kiện cho bất phương trình sau đó bình phương hai về, chưa xét xem hai vế không âm.
Khắc phục sai lầm. Khi đặt xong điều kiện cho bất phương trình có nghĩa, trước khi bình phương cần xét đến hai vế của phương trình, khi hai vế không âm, sau đó bình phương hai vế không âm của bất phương trình.
Lời giải đúng.
Điều kiện của bất phương trình là:
(1). Bình phương hai vế không âm ta được 
Bất phương trình có nghiệm khi 
Giải hệ bất phương trình ta được
Vậy nghiệm của bất phương trình là
 Dạng 4: sai lầm thường gặp trong giải bài toán cực trị .
 Bài1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải sai. Phân thức A có tử không đổi nênA có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có 
 min
Vậy max A =
Phân tích sai lầm. Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khảng định ( A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất) mà chưa nhận xét tử và mẫu là các số dương.
 Chẳng hạn, xét biểu thức B=. Với lập luận (phân thức B có tử không đổi nên có giá trị nhỏ nhất khi mẫu lớn nhất), do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x=0, ta sẽ đi đến max B=. Điều này không đúng vì không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x=3 thì B=.
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu nguyên.
Khắc phục sai lầm. Khi giả loại toán này cần lưu ý đến phân thứcbcar tử và mẫu phải là số dương.
Lời giải đúng. Bổ sung thêm nhận xét nên tử và mẫu A là các số dương; hoặc từ nhận xét trên suy ra A>0. Ta xét biểu thức 
Ta có :
 min B= khi x=3
 Vậy max A =
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
 	 Lời giải sai.
 Vậy min A=
Phân tích sai lầm. Sau khi chứng minh f(x), chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=. Xảy ra khi và chỉ khi , vô lí.
Lời giải đúng. Để tồn tại phải có x. Do đó .
 minA=0 khi và chỉ khi x=0 
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất.
 	 Lời giải sai.
Điều kiện: 
Từ đó đánh giá được min p=
Phân tích sai lầm. Sai ngay từ khi đặt điều kiện nên tập xác định được mở rộng dẫn đến kết quả sai. Thật vậy nếu x=0 thì y tùy ý khi đó P=3y+1 không đạt giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy ra P nhỏ tùy ý.
Do đặt sai điều kiện nên lời giải bài toán đã thiếu một trường hợp.
Lời giải đúng. 
Điều kiện: 
Xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: Điều kiện: 
Từ đó đánh giá được min p=
Trường hợp 2: x=0 ;y tùy ý suy ra P =3y+1 không có giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy ra P nhỏ tùy ý.
Kết luận chung : Biểu thức P không đạt giá trị nhỏ nhất.
3. MỘT SỐ BÀI TẬP CÙNG LOẠI.
 Sau khi áp dụng chuyên đề tôi cho một số bài tập cùng loại cho học sinh làm và kiểm tra một số bài trong đó.
Bài 1. Tính giá trị biểu thức.
a)A=
b)
c)
Bài 2.Rút gọn các biểu thức.
a) ( Với )
b) (với 4<x<5)
Bài 3. Giải các phương trình.
a) 
b)Cho 
* Với giá trị nào của x thì A có nghĩa còn B không có nghĩa.
* Giải phương trình: A=B.
 ( THI VÀO LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TP HỒ CHÍ MINH 26-6-1998. BAN C-D)
Bài 4. Giải các phương trình sau.
a)
b)
c)
d)(THI VÀO LỚP 10 LÊ HỒNG PHONG1-7-1997.BAN A-B-C-D)
bài 5. Cho biểu thức và 
a)Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa.
b)Với giá trị nào của x thì A=B? 
 ( Bài tập 30 SBT toán 9-tập 1)
Bài 6. Giải bất phương trình.
a)
b)
c) (THI HỌC SINH GIỎI TP HỒ CHÍ MINH 1992-1993 VÒNG I )
d) 
Bài 7. Cho x và y là hai số dương. Chứng minh rằng 
 ( THI VÀO LỚP 10 LÊ HỒNG PHONG 1992-1993 BAN A-B) 
Bài 8. Cho và . Chứng minh rằng :
 (THI HSG HẢI PHÒNG 28-12-1993 VÒNG I)
Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất 
a)
b)
c)
d)
* Tìm điều kiện của a để M được xác định.
* Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị của a tương ứng.
 (THI HSG TP HỒ CHÍ MINH 1991-1992 VÒNG 2)
4. NHỮNG KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC.
Sau khi áp dụng nội dung kinh nghiệm " Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai", học sinh biết cách làm bài và trình bày bài tốt hơn, ít bị sai sót nhầm lẫn hơn mà trước đó học sinh không làm được hoặc làm được nhưng không được điểm tối đa của bài. Mặt khác thông qua laoij toán này các em còn có kĩ năng làm các bài tập ở nội dung khác, thậm trí môn học khác, các em cũng có cái nhìn đầy đủ hơn, hoàn thiện hơn.
Sau khi bồi dưỡng học sinh lớp 9A tại trường theo chuyên đề trên đồng thời kiểm tra 32 em với nội dung trên thì thu được kết quả là.
 Số học sinh làm được
 Bài 
 SL %
 Bài 1(b) 32 100,0
 Bài 2(a) 23 71,8 
 Bài 4(b) 27 84,3
 Bài 6 (a) 22 68,75
VI:BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Các bài toán phần căn thức bậc hai rất phong phú, và có nhiều cách làm, xong học sinh cũng rất rễ mắc phải các sai lầm đáng tiếc mà nếu các em chú ý khi học, được biết thì sẽ không mắc phải.
Kiến thức về căn bậc hai khá nhiều vì vậy khi khi giảng dạy giáo viên cho học sinh được tự làm nhiều bài tập từ đó phát hiện ra các lỗi của học sinh để kịp thời sửa chữa các sai lầm thường gặp cho học sinh. 
VII. PHẠM VI ÁP DỤNG KINH NGHIỆM.
Kinh nghiệm " Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai", áp dụng khi dạy cho học sinh lớp 9 THCS.
C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
Kinh nghiệm " Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai", đã phần nào giúp học sinh biết được các lỗi trình bày khi làm toán, giúp các em trình bày lời giải cho bài toán hoàn thiện hơn.
	Để kinh nghiệm áp dụng có hiệu quả tôi xin đề nghị nhà trường tạo điều kiện cho học sinh lớp 9 được học bồi dưỡng, có thể chỉ đạo dạy trong các tiết tự chọn về chuyên đề này để các em năm chắc nội dung học và được làm nhiều bài tập trên lớp, giáo viên phát hiện các lỗi các em hay mắc phải từ đó sửa chữa cho học sinh có hiệu quả hơn.
 	Kinh nghiệm có khả năng áp dụng được cho các nội dung học tiếp theo, với lòng say mê nghề, tôi viết kinh nghiệm này mong muốn được học hỏi đồng nghiệp. Rất mong nhận được những đóng góp quí báu của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp.
 	Tôi xin chân thành cảm ơn!
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1.Sách “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường PT " của BGD&ĐT.
2. Tài liệu bồi dưỡng GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) của BGD&ĐT.
3.Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn toán của BGD&ĐT. 
4. Phương pháp dạy học môn toán –Tác giả :Hoàng Chúng - BGD&ĐT.
5. SGK, SBT và SGV toán 9-tập 1.(BGD&ĐT).(chủ biên- Tôn Thân).
 6.Nâng cao và phát triển toán 9 
 ( tác giả :Vũ Hữu Bình)
 7. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp.
 ( Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh –chủ biên) 
MỤC LỤC
 NỘI DUNG TRANG
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 4 
 1.Lý do khách quan 4
 2. Lý do chủ quan 4
 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 6
 I. Điều tra thưc trạng trước khi nghiên cứu 6
 II.Phạm vi nghiên cứu 7
 III.Đối tượng nghiên cứu 7
 IV.Phương pháp nghiên cứu 7
 1. Đối với giáo viên 7 
 2. Đối với học sinh 8
 V NỘI DUNG KINH NGHIỆM 8
 1. Cơ sở lí thuyết. 8
 2. Những sai lầm thường gặp khi giải các 10
 bài toán về căn bậc hai.
 Dạng1: Sai lầm trong tính toán 11
 Dạng 2: Sai lầm trong giải phương trình 13
 Dạng 3: Sai lầm trong giải bất phương trình 19
 Dạng4: Sai lầm thường gặp trong giải toán cực trị 22
 3.MỘT SỐ BÀI TOÁN CÙNG LOẠI 24
 4.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 26
 VI. BÀI HỌC KINH NGHIỆM 27 
 C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ NGHỊ 28
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29
 MỤC LỤC 30
.

File đính kèm:

sang_kien_kinh_nghiem_giup_hoc_sinh_khac_phuc_mot_so_sai_lam.doc