Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

à ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: . Hãy tính giá trị của biểu thức .
 ( Thi HSG toán 7 Yên Việt năm học 2012 - 2013 )
H­íng dÉn : 
+Nếu a+b+c 0
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
= = 1
mà = 2 => =2
Vậy B ==8
+ Nếu a+b+c = 0
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
= = 0
mà = 1
=> =1
Vậy B ==1
 Bµi tËp t­¬ng tù:
Bµi 1. Cho A = . TÝnh A biÕt x, y, z tØ lÖ víi 5, 4, 3.
Bµi 2. Cho biÕt c¸c sè A; B ; C tØ lÖ víi a, b, c. 
 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : Q = 
Bµi 3. Cho 4 tØ sè b»ng nhau: 
 ; ; ; 
T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè trªn.
Bµi 4. Cho d·y: 
T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = 
D¹ng 4: cã néi dung Liªn quan thùc tÕ, h×nh häc
Ph­¬ng ph¸p gi¶i
B­íc 1:Dïng c¸c ch÷ c¸i ®Ó biÓu diÔn c¸c ®¹i l­îng ch­a biÕt.
B­íc 2:Thµnh lËp d·y tØ sè b»ng nhau vµ c¸c ®iÒu kiÖn.
B­íc 3:T×m c¸c sè h¹ng ch­a biÕt. 
B­íc 4:KÕt luËn.
Bµi to¸n 4. 1:( Bµi 76 SBT to¸n 7-Trang 14 ):
 TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh mét tam gi¸c biÕt chu vi lµ 22 cm vµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi c¸c sè 2;4;5
Hướng dẫn: Gäi ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c lµ a,b,c (a,b,c)
	V× chu vi cña tam gi¸c b»ng 22 nªn ta cã a+b+c=22
 V× c¸c c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2;4;5 nªn ta cã 
	 §Õn ®©y c¸ch gi¶i gièng Bµi to¸n 1.5 
 T­¬ng tù bµi to¸n nµy ta cã bµi to¸n sau :
Bài toán 4.2: (Bài 57 – SGK Toán7 tập 1-trang 30)
 Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tương ứng tỉ lệ với các số 2, 4, 5. Tính số viên bi của mỗi bạn, biết rằng cả ba bạn có tất cả 44 viên bi.
Hướng dẫn: Gäi sè viªn bi cña ba b¹n Minh, Hïng, Dòng lÇn l­ît lµ x, y, z ( viªn) 
 Vì số viên bi của ba bạn lần lượt tỉ lệ với 2, 4, 5 nên ta có 
 vµ x + y +z = 44 ®Õn ®Êy bµi to¸n gi¶i nh­ bµi to¸n 1.5.
Khi ®· cã vµ x + y +z = 44 
 Thì b»ng c¸ch thay ®æi ng«n ng÷ sÏ cã rÊt nhiÒu bµi to¸n cã néi dung thùc tÕ (theo kiÓu ph¸t triÓn nh­ d¹ng to¸n 1) . Sau ®©y lµ mét sèvÝ dô :
Bµi tËp 4.3: Chia số 44 thành 3 phần tỉ lệ với 2, 4, 5.
Bµi tËp 4. 4: Ba líp 7A,7B,7C cïng tham gia lao ®éng trång c©y ,sè c©y mçi líp trång ®­îc tØ lÖ víi c¸c sè 2;4;5 vµ 2 lÇn sè c©y cña líp 7A céng víi 4 lÇn sè c©y cña líp 7B th× h¬n sè c©y cña líp 7C lµ 60 c©y. TÝnh sè c©y mçi líp trång ®­îc .
H­íng dÉn
Gäi sè c©y trång ®­îc cña líp 7A,7B,7C lÇn l­ît lµ a,b,c ( a,b,c nguyªn d­¬ng)
Theo bµi ra ta cã vµ 2a + 4b – c = 60
 Tõ ®ã Häc sinh gi¶i ®­îc t­¬ng tù nh­ bµi to¸n 1.13
Bµi tËp 4. 5: Ba líp 7A, 7B, 7C cã 117 b¹n tham gia ®i trång c©y. Sè c©y mçi b¹n ë ba líp trång ®­îc tØ lÖ víi c¸c sè 2; 3; 4 c©y , vµ sè c©y mçi líp trång ®­îc b»ng nhau. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh ®i trång c©y.
 (§Ò kiÓm ®Þnh chÊt l­îng ®¹i trµ §« L­¬ng m«n To¸n 7 n¨m häc 2008 – 2009 )
Bài tập 4: :( Aùp dụng đối với HS Giỏi).
Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi số thóc ở kho I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc. 
H­íng dÉn
 Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là 
Số thóc của kho II sau khi chuyển là 
Số thóc của kho III sau khi chuyển là 
theo bài ra ta có và a+b+c=710
từ 
 Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bµi tËp 4. 6 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ vµ tØ lÖ víi 3 vµ 15, = 4. TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC.
 §©y lµ bµi to¸n cã néi dung h×nh häc nh­ng l¹i ®­îc gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p ®¹i sè, thËt ®¬n gi¶n khi nhí ®­îc d÷ kiÖn cho d­íi d¹ng Èn lµ tæng c¸c gãc trong mét tam gi¸c b»ng 1800
H­íng dÉn
* Theo bµi ta cã = vµ =
 Hay : == mµ ¢ + + = (Tæng 3 gãc trong mét tam gi¸c)
 §Õn ®©y bµi to¸n gi¶i nh­ bµi to¸n 1.5.
Bµi tËp 4. 7 : Cã ba tñ s¸ch ®ùng tÊt c¶ 2250 cuèn s¸ch. NÕu chuyÓn 100 cuèn tõ tñ thø nhÊt sang tñ thø 3 th× sè s¸ch ë tñ thø 1, thø 2, thø 3 tØ lÖ víi 16;15;14. Hái tr­íc khi chuyÓn th× mçi tñ cã bao nhiªu cuèn s¸ch ?
 Bµi nµy kh¸ phøc t¹p ë chç: sè l­îng s¸ch trong mçi tñ tr­íc vµ sau khi chuyÓn.
H­íng dÉn
Gäi sè quyÓn s¸ch cña tñ 1, tñ 2, tñ 3 lóc ®Çu lµ: a, b, c (quyÓn) (a, b, c vµ a, b, c < 2250). 
Th× sau khi chuyÓn ,ta cã:
Tñ 1: a –100 (quyÓn)	
Tñ 2: b (quyÓn)
Tñ 3: c + 100 (quyÓn)
Theo ®Ò bµi ta cã :== vµ a + b + c = 2250.
 Vµ gi¶i nh­ bµi to¸n 1.9 
Bµi tËp 4. 8: Trong mét ®ît lao ®éng ba khèi 7, 8, 9 chuyÓn ®­îc 912 ®Êt , trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®­îc 
Sè häc sinh khèi 7 vµ khèi 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3 ; sè häc sinh khèi 8 vµ khè 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5 . TÝnh sè häc sinh cña mçi khèi .
H­íng dÉn
 Gäi sè häc sinh cña khèi 7,8,9 lÇn l­ît lµ a,b,c (h/s) (a,b,c lµ sè nguyªn d­¬ng)
Sè ®Êt khèi 7 chuyÓn ®­îc lµ 1,2a
Sè ®Êt khèi 8 chuyÓn ®­îc lµ 1,4b
Sè ®Êt khèi 9 chuyÓn ®­îc lµ 1,6c
Theo bµi rat a cã 
Vµ 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 gi¶i ra ta ®­îc a= 80, b= 240, c= 300
VËy sè häc sinh cña khèi 7,8,9 lÇn l­ît lµ 80 h/s ,240h/s ,300h/s
Bµi tËp 4. 8: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. 
 ( Trích đề thi HSG Toán 7)
 H­íng dÉn
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c
Ta có: 	(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
	(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu
Vây: c’ – c = 4 hay 
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
	§©y lµ d¹ng bµi tËp khã ®èi víi häc sinh, kh«ng chØ häc sinh trung b×nh mµ c¶ ®èi víi häc sinh kh¸-giái, khã và quan trọng nhất ë c«ng ®o¹n chuyÓn bµi to¸n lêi v¨n vÒ d¹ng biÓu thøc. Gi¸o viªn cÇn dÉn d¾t c¸c em thËt tØ mØ tõng b­íc, tõ ph©n tÝch ®Çu bµi ®Ó t×m ra yÕu tè bµi cho, yÕu tè ch­a biÕt, yÕu tè cÇn t×m vµ mèi quan hÖ gi÷a chóng, kÓ c¶ nh÷ng mèi quan hÖ ®· biÕt d­íi d¹ng Èn (VÝ dô nh­: s = v.t hoÆc tæng c¸c gãc trong mét tam gi¸c b»ng 1800...), råi ®Õn c¸ch gäi kÝ hiÖu kÌm ®iÒu kiÖn vµ ®¬n vÞ ra sao... §Æc biÖt lµ khi kÕt luËn cho bµi ph¶i chÝnh x¸c theo yªu cÇu.
 Bµi tËp tù gi¶i:
Bµi 1. N¨m líp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhËn ch¨m sãc v­ên tr­êng cã diÖn tÝch 300m2. Trong ®ã: Líp 7A nhËn 15% diÖn tÝch, 7B nhËn diÖn tÝch cßn l¹i. Sau khi 2 líp 7A vµ 7B nhËn th× phÇn cßn l¹i ®­îc chia cho 3 líp 7C, 7D, 7E theo tØ lÖ ; ; . TÝnh diÖn tÝch v­ên giao cho mçi líp.
Bµi 2. Mét bÓ chøa h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng vµ chiÒu dµi tØ lÖ víi 4 vµ 5; ChiÒu réng vµ chiÒu cao tØ lÖ víi 5 vµ 4. ThÓ tÝch cña bÓ lµ 64m3. TÝnh chiÒu réng, chiÒu dµi vµ chiÒu cao cña bÓ.
Bµi 3. T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt sè ®o c¸c gãc ¢, , tØ lÖ víi: 
 a) 2; 3; 4. 	b) 1; 2; 3.
Bµi 4. Ba ®­êng cao cña mét tam gi¸c cã ®é dµi b»ng 4; 12; x. BiÕt r»ng x lµ mét sè tù nhiªn. T×m x( Cho biÕt mçi c¹nh cña tam gi¸c nhá h¬n tæng hai c¹nh kia vµ lín h¬n hiÖu cña chóng)
Bµi 5. Mét ng­êi ®i bé tõ A ®Õn B ®· tÝnh r»ng: NÕu ®i víi vËn tèc 6 km/h th× ®Õn B lóc 11h 45phót. Nh­ng ng­êi ®ã chØ ®i ®­îc qu·ng ®­êng víi vËn tèc dù ®Þnh tr­íc, ®o¹n ®­êng cßn l¹i chØ ®i víi vËn tèc 4,5 km/h nªn ®· ®Õn B lóc 12h. Hái ng­êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê vµ qu·ng ®­êng AB bao nhiªu km?
Bµi 6. Ba kho A, B, C chøa mét sè g¹o. Ng­êi ta nhËp vµo kho A thªm sè g¹o cña kho ®ã, xuÊt ë kho B ®i sè g¹o cña kho ®ã, xuÊt ë kho C ®i sè g¹o cña kho ®ã. Khi ®ã sè g¹o cña 3 kho b»ng nhau. TÝnh sè g¹o ë mçi kho lóc ®Çu, biÕt r»ng sè g¹o ë kho B Ýt h¬n sè g¹o ë kho A lµ 20 t¹.
Bài 7. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2 là ; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là . Tìm 3 số đó?
D¹ng 5 : Mét sè sai lÇm th­êng gÆp KHI gi¶i to¸n liªn 
 quan ®Õn tû sè b»ng nhau.
 Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y xuÊt hiÖn nhiÒu tr­êng hîp häc sinh m¾c sai lÇm, tïy theo ®èi t­îng mµ gi¸o viªn chÊn chÝnh, uèn n¾n hoÆc cã nh÷ng biÖn ph¸p phï hîp víi môc ®Ých gióp c¸c em hiÓu bµi vµ biÕt c¸ch vËn dông gi¶i bµi tËp. Vµ nh×n chung th× c¸c em th­êng m¾c c¸c sai lÇm nh­ sau :
1.Sai lÇm khi ¸p dông t­¬ng tù : 
 Hoc sinh thường sai làm khi Áp dông hay 
Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp cô thÓ :
Bµi tËp 5.1: (Bµi 62 – SGK To¸n 7-Trang 31) T×m 2 sè x,y biÕt r»ng vµ x.y=10
*Häc sinh cã thÓ sai lÇm nh­ sau : suy ra x=2, y=5
*Bµi lµm ®óng :
 tõ 
hoÆc ®Æt v× xy=10 nªn 2k.5k=10
 suy ra vµ 
Bµi tËp 5.2: T×m c¸c sè x,y,z biÕt r»ng 
 vµ x.y.z= 648
* Häc sinh sai lÇm nh­ sau:
Suy ra x = 54, y = 81, z = 108 
* Bµi lµm ®óng : t­¬ng tù Bµi to¸n 1.18
2.Sai lÇm khi bá qua ®iÒu kiÖn kh¸c 0: 
 Khi rót gän hoc sinh th­êng bá qua ®iÒu kiÖn sè chia kh¸c 0 dÉn ®Õn thiÕu gi¸ trÞ cÇn t×m. Ch¼ng h¹n nh­ :
Bµi tËp 5.3: Cho d·y tØ sè b»ng nhau lµ 
 Chứng minh a=b=c 
*Lời giải mắc sai lầm : ta cã =1
 Suy ra : a=b=c ( T­¬ng tù Đề thi giáo viên dạy giỏi huyện Đô Lương 2011 )
 ( ở đây không đúng nếu a+b+c = 0 ) 
 * Lời giải đúng như cách 2, cách 3 của Bài toán 2.13
Bµi tËp 5.4 : (Sai lÇm nh­ bµi to¸n 3.2 )
Bµi tËp 5.5: (bài toán 3.3)
 Cho biÓu thøc 
TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt r»ng
 Học sinh mắc sai lầm là không xét trường hợp x+y+z+t = 0
Bµi tËp 5.6: Cho 3 tØ sè b»ng nhau lµ .
 TÝnh ( thi HSG to¸n 7 huyÖn Thanh chương n¨m 2012 )
Häc sinh th­êng m¾c sai lÇm kh«ng xÐt tr­êng hîp a+b+c = 0 nh­ bµi to¸n 3.2.
Bµi tËp 5.7 : T×m x, y biÕt : .
Häc sinh th­êng gi¶i nh­ sau : tõ 
 Suy ra 
8y – 9 = 15y =3 vµ suy ra x = 6.
Sai lÇm lµ tõ 8y – 9 = 15
Kh¾c phôc : Khi gi¶i ®Õn ph¶i xÐt hai tr­êng hîp : 
+ NÕu :3y – 8 = 0 tõ ®ã t×m ®­îc 
+ NÕu 3y – 8 0 8y – 9 = 15y =3 vµ suy ra x = 6.
3.Sai lÇm khi xÐt luü thõa bËc ch½n : 
Häc sinh th­êng sai lÇm nÕu A2=B2 suy ra A=B
Bµi tËp 5.8: T×m c¸c sè x,y,z biÕt r»ng 
 biÕt r»ng ( Bµi to¸n 1.15 )
Khi gi¶i ®Õn :
 Häc sinh chØ lÊy x =8 ; y = 12 ;z = 16 mµ sãt tr­êng hîp x = - 8 ; y = -12 ;z = - 16
4. Sai lÇm trong vËn dông kiÕn thøc :
VÝ dô 1: Cho 6x = 4y = 3z vµ x + y + z = 36, t×m x, y, z. (Bµi to¸n 1.8 ) 
Lêi gi¶i häc sinh th­êng lµ: Tõ 6x = 4y = 3z 
 x = 36 ; y = 36 ; z = 36
 Lçi sai sãt : Tõ 6x = 4y = 3z ; nªn viÖc t×m x,y,z sai .
Kh¾c phôc : Ta cã BCNN ( 6; 4 ;3 ) = 24
 Tõ 6x = 4y = 3z 
Lêi gi¶i mong ®îi : Dùa vµo tÝnh chÊt cña phÐp nh©n cña ®¼ng thøc c¸c em ®· biÕt t×m BCNN( 6; 4 ;3 ), tõ ®ã ,lêi gi¶i nh­ sau : (Gi¶i nh­ bµi 1.8)
VÝ dô 2 : Cho tỉ lệ thức: .Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: 
Lêi gi¶i cña häc sinh : Tõ do ®ã kh«ng ®i ®Õn yªu cÇu bµi to¸n.
Sai sãt : Do häc sinh ch­a sö dông ®óng ph­¬ng ph¸p ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng cña tØ lÖ thøc, ch­a biÕt vËn dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau.
Kh¾c phôc : Tõ ( ho¸n vÞ trung tû )
Tõ ®ã ¸p dông tÝnh chÊt tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ®i ®Õn kÕt qu¶.
Lêi gi¶i mong ®îi : ( nh­ Bµi to¸n 2.3 )
Ngoµi h­íng gi¶i trªn c¸c em còng ®· t×m ra h­íng gi¶i kh¸c nhê tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc nh­:
 XÐt tÝch : (a-b).(c+d) vµ (a+b).( c-d) . tõ ®ã suy ra: (a-b).(c+d) = (a+b).( c-d) tõ ®ã dÉn têi ®iÒu ph¶i chøng minh.
5. Sai lÇm trong tr×nh bµy lêi gi¶i :
 Qua thực tế khi d¹y học sinh thấy các em gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”
Ví dụ 1: ở cách giải 1 của bài toán 1.4 các em có thể sai lầm khi dùng dấu “=” ở dấu
 như sau : ta có 
 thì các em lại dùng dấu “ = ” là sai.
Ví dụ 2 : ở cách giải 1 của bài toán 1.5 ở chỗ
 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tõ 
ta cã ,
	Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai.
Bµi tËp t­¬ng tù :
Bµi 1: Cho a,b,c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 
Bµi 2: Cho d·y tØ sè b»ng nhau : 
T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc M biÕt : 
Bµi 3: Mét häc sinh líp 7 tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n
 “ T×m x, y biÕt:
” 
 nh­ sau: 
Ta cã:	(1) 
Tõ hai tû sè ®Çu ta cã:	(2)
	Tõ (1) vµ (2) ta suy ra (3)
 6x = 12 x = 2
	Thay x = 2 vµo 2 tû sè ®Çu ta ®­îc y = 3
	Thö l¹i thÊy tho¶ m·n . VËy x = 2 vµ y = 3 lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m
§ång chÝ h·y nhËn xÐt lêi gi¶i cña häc sinh trªn
PhÇn III: KÕt luËn Vµ BµI HỌC KINH NGHIỆM.
 Khi nghiªn cøu ®Ò tµi “ Gióp häc sinh chuyªn s©u vÒ tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau’’ trong m«n §¹i sè líp 7 t«i thÊy viÖc ¸p dông vµo gi¶ng d¹y rÊt cã hiÖu qu¶, häc sinh dÔ hiÓu vµ høng thó trong qu¸ tr×nh tiÕp thu kiÕn thøc, c¸c em ®· biÕt khai th¸c s©u bµi to¸n, biÕt tù ®Æt ra c¸c bµi to¸n míi, tr¸nh ®­îc nh÷ng sai lÇm mµ m×nh hay m¾c ph¶i. Vµ thÊy r»ng qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nÕu gi¸o viªn cã sù ®Çu t­ nghiªn cøu bµi d¹y cµng kÜ th× hiÖu qu¶ ®¹t ®­îc cµng cao. T©m huyÕt víi nghÒ lµ mét trong nh÷ng yÕu tè t¹o nªn thµnh c«ng cña bµi d¹y. §øng tr­íc nh÷ng bµi tËp, kiÕn thøc ë “giíi h¹n gÇn tíi”, häc sinh th­êng lóng tóng, hoang mang v× kh«ng biÕt ph¶i lµm nh­ thÕ nµo; Lóc ®ã chÝnh lµ thêi ®iÓm ®Ó gi¸o viªn xuÊt hiÖn cïng víi vai trß ®Þnh h­íng, dÉn d¾t c¸c em b­íc qua khã kh¨n, gîi më ®Ó c¸c em kh«ng nh÷ng lµm ®­îc mµ cßn lµm tèt kh«ng chØ bµi ®ã hay kiÕn thøc ®ã mµ c¶ nh÷ng bµi, nh÷ng kiÕn thøc kh¸c, cã liªn quan hoÆc kh«ng liªn quan b»ng nh÷ng sù liªn hÖ logic. §ã chÝnh lµ c¸ch t­ duy, kÓ c¶ viÖc n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n, ph¶i khai th¸c bµi to¸n theo tõng m¶ng, mçi m¶ng ta l¹i chia thµnh tõng phÇn, sao cho mçi phÇn cã sù liªn kÕt chÆt chÏ víi nhau vÒ cÊu tróc cña bµi to¸n còng nh­ vÒ ph­¬ng thøc gi¶i to¸n .
 MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng nh­ng víi kiÕn thøc cßn h¹n chÕ ch¾c ch¾n t«i ch­a thÓ ®­a ra vÊn ®Ò mét c¸ch trän vÑn ®­îc, rÊt mong ®­îc sù gãp ý ch©n thµnh cña c¸c ®ång nghiÖp vµ c¸c thÇy c« ®· cã nhiÒu kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y ®Ó ®Ò tµi nµy ®­îc hoµn thiÖn h¬n. 
 T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Yên Thành, ngµy 27 th¸ng 04 n¨m 2019
PhÇn I. Lý do chän ®Ò tµi ..............................................................
PhÇn II. Néi dung ®Ò tµi .............................................................
A. Lý thuyÕt ...................................................................................
B. C¸c d¹ng to¸n vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i............................................
 D¹ng 1. T×m sè h¹ng trong tØ lÖ thøc .....................................
 D¹ng 2. Chøng minh tØ lÖ thøc ................................................
 D¹ng 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc .................................................
 D¹ng 4. To¸n cã néi dung liªn thùc tÕ, h×nh häc.................
 D¹ng 5. Mét sè sai lÇm th­êng gÆp ....................................
 PhÇn III. KÕt luËn .......................................................................
 PhÇn IV.Tµi liÖu tham kh¶o ........................................................

2
3
3
4
4
14
23
25
28
31
32
Môc lôc
PhÇn IV Tµi liÖu tham kh¶o
S¸ch gi¸o khoa to¸n 7 NXB GD
S¸ch bµi tËp to¸n 7 NXB GD 
KiÕn thøc c¬ b¶n vµ n©ng cao to¸n 7. NXB HN
Nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n vµ n©ng cao chän läc 7. NXB §HSP
N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 7. NXB GD
B¸o thÕ giíi trong ta.
B¸o to¸n häc vµ tuæi trÎ.
TuyÓn chän 400 bµi tËp to¸n 7. NXB §µ N½ng
To¸n båi d­ìng ®¹i sè 7. NXB HN
TuyÓn chän 500 bµi to¸n c¬ b¶n vµ n©ng cao to¸n NXB §HSP
Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn ®Ò to¸n NXB GD
¤n kiÕn thøc-luyÖn kÜ n¨ng ®¹i sè 7. NXB GD
13.Mét sè s¸ch b¸o tham kh¶o kh¸c.