Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay

II.2.2.2.2.1. Tìm chữ số lẻ thập phân
VD1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bước 1:
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999
 17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn. Không lấy số không vì 
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001
Bước 2: 
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 ()
Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7
Ví dụ 2:
Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19
Giải:
Ta có . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 : 19
Bước 1: 
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421. 
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9
Bước 2:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9
Bước 3:
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là 
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9
Bước 4: 
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
...
Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ...
 = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ta có 
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân.
Kết quả : số 8
II.2.2.2.2.1.2. Tìm phân số sinh ra số thập phân tuần hoàn
II.2.2.2.2.1.2.1. Cách làm
Mẫu số là các số 9 và các số 0 tiếp theo:
+ Số chữ số 9 bằng số chữ số trong cụm tuần hoàn.
+ Số chữ số 0 bằng số chữ số không tuần hoàn đứng sau dấu phẩy.
Tử số bằng số đã cho với cụm tuần hoàn đầu tiên không ghi dấu phẩy trừ cho phần không tuần hoàn không ghi dấu phẩy.
II.2.2.2.2.1.2.2. Ví dụ
VD1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau
0,123123123
4,(35)
2,45736736
Giải: 
Bài tập:
1.Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:
1 chia cho 49
10 chia cho 23
2. Tìm phân số sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).
3. Viết các số sau dưới dạng phân số tối giản
	a) 3124,142248
	b) 5,(321).
4. a) Tính
b) Tìm tất cả các ước nguyên tố của A
II.2.2.3. Đa thức
II.2.2.3. 1. Lí thuyết
Một số kiến thức cần nhớ:
II.2.2.3. 1. 1. Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
II.2.2.3. 1. 2. Sơ đồ Hor nơ
Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a.
Ví dụ:
Thực hiện phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ.
Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên.
a = 2
-5
8
-4
1
Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư.
Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên
Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên
a = 2
-5
8
-4
1
1
-3
2
0
Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0
* Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có:
a1
a2
a3
a0
a 
r
b1
b2
b0
a0
ab0 + a1
ab1 + a2
ab2 + a3
VD 1: Tìm số dư trong các phép chia sau:
x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12.
x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6
Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
+ Tính P(2)
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
VD2 : 
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f . 
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 15 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải: 
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769
Bài 3:
Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , 
Q(4) = 11 .
Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) 
Hướng dẫn 
Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3
Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3)
Bài tập vận dụng
1. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . 
Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) . 
2.Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; 
P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003)
3. Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8)
4.Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007)
5.Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m . 
Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 .
Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 
P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m . 
6. Cho P(x) = .
Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
7. Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho 
x – 2,652. Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên.
8.Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)
9.Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m .
Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x) thành tích của các thừa số bậc nhất
Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 .
Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất.
II.2.2.4. Dãy số
VD1: 
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức
 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
 a) Tính 
 b) Lập công thức truy hồi tính theo và 
 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và 
Giải:
Quy trình bấm phím (Máy fx-570MS)
Ấn liên tiếp ta được kết quả
U1 = 1; U2 = 26 ; U3 =510; U4 =8944; U5 = 147884
 U6 = 2360280; U7 = 36818536; U 8= 565475456.
Giả sử Un+1 = a. Un + b. Un-1 + c
Theo phần a ta có hệ
 Un+1 = 26 Un -166 Un-1 
	c)
Bài tập áp dụng
1.Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = .
Lập quy trình bấm phím tính an + 1 
Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10
2.Cho dãy số x1 = ; .
Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1
Tính x30 ; x31 ; x32
3.Cho dãy số (n ≥ 1)
Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100.
Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100.
4.Cho dãy số (n ≥ 1)
Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1
Tính x100
5.Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ...
Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4
Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un .
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un.
6. Cho dãy số với n = 1; 2; 3; ...
Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5
Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1.
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio
7.Cho dãy số được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1.
Lập một quy trình tính un.
Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9
Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh.
8.Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + 1 = 3Un + Un – 1. (n ≥ 2)
Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio
Tính các giá trị của Un với n = 18, 19, 20
9.Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + 1 = Un + Un – 1. (n ≥ 2)
Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio
Tính các giá trị của Un với n = 12, 48, 49, 50
10. Cho dãy số sắp thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở đi được tính theo công thức Un + 1 = 2Un + Un + 1 (n ≥ 2).
Tính giá trị của U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8
Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un
Sử dụng quy trình trên tính giá trị của Un với n = 22; 23, 24, 25
II.2.2.5. Các bài toán kinh tế
*Lãi suất đơn: Tiền lãi không được gộp vào vốn để tính.
*Lãi suất kép: Tiền lãi gộp vào vốn để tính.
II.2.2.5.1. Bài toán 1: Lãi suất đơn
Một công nhân gởi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên 1 tháng theo hợp đồng tiền gốc và tiền lãi hàng tháng được thanh toán 1 lần ( tiền lãi hàng tháng không được cộng vào gốc cho tháng sau).
Tính số tiền lãi sau n tháng.
Giải: 
Tiền lãi mỗi tháng: a.m%
Tiền lãi sau n tháng: n.a.m%
II.2.2.5.2. Bài toán 2: Lãi suất kép
* Bài toán 2.1: Lãi suất kép 1
Gửi số tiền a đồng, lãi suất m% trên tháng (lãi mỗi tháng cộng vào gốc tháng sau) tính số tiền có được sau n tháng.
Giải: 
Đầu tháng 1 số tiền là: a 
Cuối tháng 1 số tiền là: a + a.m% = a(1+m%).
Đầu tháng 2 số tiền là: a(1+m%)1
Cuối tháng 2 số tiền là: a(1+m%)1 + a(1+m%).m%
	 = a(1+m%) (1+m%)
	 = a(1+m%)2
Đầu tháng n số tiền là: a(1+m%)n
Cuối tháng n số tiền là: a(1+m%)n.
* Bài toán 2.2: Lãi suất kép 2
Hàng tháng 1 người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên một tháng (tiền lãi mỗi tháng + gốc cho tháng sau). Tính số tiền gốc cộng lãi sau n tháng.
Giải: 
Đầu tháng 1 số tiền là: a 
Cuối tháng 1 số tiền là: a + a.m%= a(1+m%).
Đầu tháng 2 số tiền là: a(1+m%) +a = a[(1+m%)+1]
Cuối tháng 2 số tiền là: a[(1+m%)+1]+ a[(1+m%)+1]m%
	 = a[(1+m%)+1](1+m%)
Cuối tháng n số tiền là:
II.2.2.5.3. Ví dụ
VD1: a) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2 ?
 b)Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là ?
Giải : a) 76300000(1+1,2%)9=76300000(1+0,012)9= 84947216,06
Dân số nước ta năm 2010 là : 84947216 người
100000000=76300000(1+r)19
(1+r)19 =100000000 ÷ 76300000
1+r =
r =-1
= 0,014338521
 Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là : 1,433852166%
VD2: Một người gửi ngân hàng theo lãi suất kép. Muốn có 1 triệu sau 15 tháng thì phải gửi ngân hàng mỗi tháng một số tiền bằng nhau là bao nhiêu nếu lãi suất là 0,6%.
Giải : Số tiền sau n tháng được tính :
Bài tập áp dụng
Dân số của một quốc gia năm 2000 là 80 triệu dân, năm 2002 dân số nước đó là 81931520 người
Tìm tỉ lệ sinh dân số của quốc gia trên.
Dự đoán đến năm 2015 quốc gia đó có bao nhiêu người so với năm 2000.
Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền là 65 triệu đồng theo mức không kì hạn với lãi suất 0,4% một tháng. Nếu mỗi tháng người đó rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì hàng tháng người đó cần rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn đến trăm đồng) để sau đúng 60 tháng số tiền trong sổ tiết kiệm vừa hết.
3. Dân số của một thành phố năm 2007 là 330.000 người.
a) Hỏi năm học 2007-2008, dự báo có bao nhiêu học sinh lớp 1 đến trường, biết trong 10 năm trở lại đây tỉ lệ tăng dân số mỗi năm của thành phố là 1,5% và thành phố thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều đến lớp 1 ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
b) Nếu đến năm học 2015-2016, thành phố chỉ đáp ứng được 120 phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh thì phải kiềm chế tỉ lệ tăng dân số mỗi năm là bao nhiêu, bắt đầu từ năm 2007 ? (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
II.2.2.6. Căn thức 
Cách giải: 
 - Tìm quy luật của biểu thức.
- Chọn giá trị ban đầu để gán vào biến sao cho hợp lí.
- Dựa vào quy luật viết quy trình bấm phím.
VD1: Tính gần đúng đến 6 chữ số thập phân
Giải: Quy trình bấm phím trên máy fx570-MS 
KQ: 4,547219
VD2: Tìm
Giải: 
Ấn lặp cho đến khi A = 2; 
KQ: 1,829
Bài tập vận dụng
Tìm gần đúng đến 4 chữ số thập phân
Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị biểu thức (gần đúng đến 6 chữ số thập phân)
II.2.2.7. Phương trình
II.2.2.7.1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc cao 
II.2.2.7.1.1. Cách làm
Ghi nguyên vào màn hình phương trình cần tìm nghiệm.
Ấn phím (Máy hiện X?)
Ấn phím (Máy cho kết quả)
II.2.2.7.1.2.Ví dụ
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
	x6- 15x -25 =0
Giải: 
KQ: -1,317692529.
Bài tập vận dụng
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
x31- 11x =13
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
x23- 19x -27 =0
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
	12x6- 17x -35 =0
II.2.2.7.2. Phương trình có chứa phần nguyên
II.2.2.7.2.1. Lí thuyết
Định nghĩa: Kí hiệu gọi là phần nguyên của x, trong đó không vượt quá x: 
II.2.2.7.2.2. Ví dụ
VD1: Giải phương trình
 (1)
Giải: Đặt 
Có: 
Từ 
Thay vào (*) tính được: 
x1=1; x2=2002,999251; x3 =2003,4999688; x4=2004.
VD2: Giải phương trình
Giải: 
Ta có 
Từ đây dễ dàng chứng minh: 
Do đó ta có:
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình
2.Giải phương trình
3. Giải phương trình
 4. Hiệu quả của chuyên đề :
 Qua kết quả khảo sát đó tôi đã cố gắng giảng dạy cho các em, và dần dần tôi đã thấy được sự tiến bộ của học sinh qua việc giải bài tập. Tôi nhận thấy hầu hết các em đã biết trình bày bài toán dạng này. Phần lớn học sinh đã có hứng thú giải những bài toán bằng cách lập phương trình. Các em không còn lúng túng.
 Với kinh nghiệm này, tôi đã áp dụng vào năm học 2017- 2018 ở lớp 9A9 thì tôi thấy việc hoạt động học của học sinh tương đối tốt. Học sinh được tham gia hoạt động nhiều, có ham muốn tìm tòi, khám phá kiến thức. Đa số học sinh hiểu bàivà vận dụng kiến thức linh hoạt, chất lượng giờ học được nâng cao, số học sinh đạt khá giỏi tăng lên, số học sinh yếu kém giảm nhiều, đa số học sinh có ý thức tự giác học tập hơn.
Áp dụng vào học sinh năm học 2018 – 2019 :
 Điểm
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
9A5
44
10
23
7

0
0
9A9
48
14
24
10
0
0
III. Phần kết thúc
Với sáng kiến “GIẢI TOÁN VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY”, tôi đã cố gắng trình bày một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng cũng như biện pháp khắc phục. 
Trong khi hoàn thành đề tài“GIẢI TOÁN VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY”. tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của Ban Giám Hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn, của các đồng nghiệp và học sinh.
Tuy tôi đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn rằng vẫn còn nhiều thiếu sót. Tôi xin trân trọng tất cả những ý kiến phê bình, đóng góp của cấp trên và đồng nghiệp để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn.
 Người viết
 Trần Thanh Tuấn