Sáng kiến kinh nghiệm Giải quyết bài toán quy tắc đếm bằng phương pháp lập sơ đồ

 Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5?
 Giáo viên hướng dẫn học sinh thông qua sơ đồ từ đó học sinh rút ra cách giải, đáp số và tự trình bày lời giải của mình
Sơ đồ của bài toán như sau:
Chọn số c
Chọn số b
Chọn số a
Lập số 
Có 5 cách 
Có 4 cách
Có 3 cách 
Có 5.4.3 = 60 số có thể lập được
b. Bài “Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp” (sgk Đại Số và Giải Tích 11)
 - Hoán vị: 
Tập hợp có n phần tử
Sắp thứ tự n phần tử
Có Pn=n! cách xếp 
 - Tổ hợp: 
 Tập hợp có n phần tử
Chọn ra k trong n phần tử
Có cách chọn 
 Ví dụ: Một đội thanh niên tình nguyện có 12 người. Có bao nhiêu cách phân công đi 3 tỉnh, mỗi tỉnh có 4 người.
 Phân tích: Chúng ta thấy để phân công đi 3 tỉnh, mỗi tỉnh có 4 người thì cần thực hiện 3 bước. Bước 1: chọn đội thứ nhất, bước 2: chọn đội thứ 2 và còn lại đội thứ 3
 Sơ đồ của bài toán như sau
Phân công công tác
Chọn 4 trong 12 người 
Chọn 4 trong 8 người còn lại 
Chọn 4 người còn lại
Có cách
Có cách
Có cách
Có = 34650 cách phân công
 - Chỉnh hợp:
Tập hợp có n phần tử
Chọn k phần tử trong n phần tử 
Sắp thứ tự k phần tử đã chọn 
Có cách chọn
Có cách xếp
Có cách thực hiện công việc
 Ví dụ: Một lớp học có 35 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 4 tổ trưởng cho 4 tổ? Biết rằng tất cả học sinh đều có khả năng và mỗi bạn chỉ nhận nhiều nhất một nhiệm vụ.
Sơ đồ của bài toán như sau:
35 học sinh trong lớp
Chọn ra 6 trong 35 học sinh của lớp vào ban cán sự
Sắp xếp nhiệm vụ cho 6 học sinh đã chọn
Có cách phân công
 Các bài toán đếm là có cùng bản chất và cách hiểu như nhau. Chúng dễ tương tự như nhau, các em học sinh chỉ cần nắm vững được những phương pháp tư duy hệ thống thì các em hoàn toàn có thể làm được các bài toán đếm.
 Học sinh cần hiểu được bản chất thông qua những ví dụ đơn giản từ đó sẽ giúp các em làm được các bài toán trong những trường hợp khó và phức tạp hơn.
2.3.2.Sử dụng sơ đồ khi dạy phần bài tập tổ hợp:
 Để giải một bài toán đếm chúng ta cần phải thực hiện theo quy trình sau: “Tìm hiểu đề - Thiết kế công việc – Tính toán – Trình bày”. Trong 4 bước trên thì 3 bước đầu là ba bước không chính thức, có thể làm ra giấy nháp hoặc nếu thành thạo có thể nhẩm trong đầu. Tuy nhiên 3 bước này lại đặc biệt quan trọng vì từ đó ta có thể suy luận và trình bày lời giải một cách chính xác. Vì vậy trong đề tài này tôi sẽ trình bày cách hướng dẫn học sinh thiết kế công việc bằng sơ đồ và tính toán để từ đó học sinh có thể trình bày và có lời giải chính xác, khoa học.
a. Phương pháp đếm trực tiếp:
 Đây là hướng tư duy trong phần lớn các bài toán đếm, đặc điểm của phương pháp này là chúng ta chia nhỏ công việc cần thực hiện thành các phần nhỏ hơn để đếm.
 Ví dụ 1: Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau. 
 Phân tích: Chúng ta thấy điều kiện chủ chốt của bài toán là “ số tự nhiên chẵn”. Như vậy thì chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn. Dẫn đến phải chọn d ngay từ bước đầu tiên.
 Sơ đồ của bài toán như sau:
Lập số 
d = 0
d khác 0
 3 vị trí còn lại 
có cách 
Chọn d: 3 cách
Chọn a: 5 cách
2 vị trí còn lại có 
Có số
 Lời giải
Gọi số cần lập là 
TH1: d = 0 số cách chọn 3 chữ số còn lại là 
TH2: d 0 khi đó có 3 cách chọn d. 5 cách chọn a và số cách chọn 2 chữ số còn lại là 
 Vậy số các số cần tìm là: số.
 Qua ví dụ trên ta thấy sau khi lập sơ đồ thiết kế, tính toán đưa ra được đáp số chính xác thì việc trình bày lời giải là không khó. Các em học sinh cần lựa chọn từ ngữ diễn đạt để trình bày lời giải. Vì vậy ở các ví dụ sau tôi chỉ đưa ra cách phân tích, thiết kế, lập sơ đồ của bài toán, từ đó các em sẽ diễn đạt trình bày lời giải của bài toán
Ví dụ 2: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Từ các chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 1 và 2.
 Phân tích: Điều kiện chủ chốt của bài là “phải có mặt chữ số 1 và 2”. Do đó trước hết phải chọn vị trí cho chữ số 1 và 2. Tuy nhiên do chữ số hàng chục nghìn khác 0 nên việc 1 hoặc 2 rơi vào vị trí hàng chục nghìn sẽ ảnh hưởng tới bước xếp các chữ số 0,3,4,5,6 vào các vị trí còn lại.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Lập số 
Xếp chữ số còn lại trong tập 
Hoán vị 2 chữ số trong tập
Chọn 3 chữ số còn lại
Xếp chữ số 1;2 có cách 
Chọn a có 4 cách 
Chọn 2 chữ số còn lại
Có 2.4. +.4. =1056 số
Ví dụ 3: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và cả nữ, có nhà toán học lẫn nhà vật lý học. Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?
 Phân tích: Trước hết đoàn công tác cần có cả nam và nữ, sau lại có cả nhà toán học lẫn nhà vật lý học. Do đó số lượng nhà vật lý trong nhóm sẽ ảnh hưởng đến số cách chọn người nữ. Bởi vậy ta chia trường hợp theo số lượng nhà khoa học các ngành: 2 lý – 1 toán và 2 toán - 1 lý.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Chọn đoàn
2 lý , 1 toán
2 toán,1 lý 
Chọn 2 nhà vật lý 
Chọn 1 nữ toán học 
Chọn 2 nữ toán học,1 vật lý 
Chọn 1 nữ toán 1 nam toán, 1 lý
Có 3.+=90 cách 
b. PP đếm phần bù:
 Cơ sở của phương pháp đếm là thay vì đếm số phần tử của tập A trực tiếp thì ta sẽ đếm số phần tử của tập hợp . Trong phương pháp này tôi sử dụng kí hiệu này để biểu thị phương pháp đếm phần bù. 
Ví dụ 1: Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
Sơ đồ của bài toán như sau: 
Lập số 
a có thể bằng 0
 a = 0
 Chọn d có 4 cách 
3 vị trí còn lại có cách 
Chọn d: 
3 cách
2 vị trí còn lại có 
Có 4.- 3. = 420 số
 Phân tích: Đây là ví dụ 1 của phần phương pháp đếm trực tiếp. Để sử dụng phương pháp đếm phần bù, trước hết phân tích như sau. Các bước thiết kế công việc hoàn toàn tương tự như cách giải trên. Có thể thấy rõ điều khác căn bản của hai phương pháp đếm trên là thay vì tính số cách lập bằng phương pháp nhân thì ta tính bằng phép trừ.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 123?
Sơ đồ của bài toán như sau:
Lập số 
Số có 5 chữ số
Số bắt đầu bởi 123
Chọn a: 8 cách
4 vị trí còn lại: 
2 vị trí còn lại: 
Có 8. - = 13410 số
Ví dụ 3: Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có A và B, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
 a, Trong tổ phải có cả nam và nữ.
 b, Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa A và B không đồng thời có mặt trong tổ.
Phân tích: 
 Với ‎ý a, để đếm trực tiếp số cách chọn tổ có cả nam và nữ thì ta phải xây dựng được một sơ đồ công việc để chọn một tổ có cả nam và nữ. chẳng hạn như: Bước1: chọn một bạn nam, bước 2: chọn một bạn nữ, bước 3: chọn 4 bạn còn lại. Cách chọn trên đảm bảo điều kiện có “cả nam và nữ” tuy nhiên lại không thể dùng để đếm được vì hai cách chọn khác nhau lại cho cùng một đội. Vì vậy để giải quyết bài toán này ta dùng phương pháp đếm phần bù của trường hợp cần đếm là các trường hợp “6 người toàn nam” và “6 người toàn nữ”.
 Với ý b, ta vẫn có thể sử dụng phương pháp đếm trực tiếp. Tuy nhiên cách sử dụng phần bù giúp tiết kiệm được tính toán.
Sơ đồ của bài toán như sau:
 Với ý a:
Chọn đội có nam và nữ
Chọn 6 nam có cách 
Chọn bất kỳ có cách 
Chọn 6 nữ có cách 
Có cách
 Với ý a:
Chọn tổ công tác
Chọn 6 người không đồng thời có A và B
Chọn 1 tổ trưởng: 6 cách 
Chọn 6 người bất kỳ: cách
Chọn 6 người có cả A và B: cách
Có cách
c. Phương pháp lấy trước rồi xếp sau:
Dùng cho những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt.Trong những
 dạng toán này có những điều kiện mà ta phải chọn tập hợp đối tượng thoả 
mãn một vài điều kiện trước rồi mới sắp xếp để đạt được kết quả sau.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?
Phân tích: Điều kiện cuả bài toán là: “ 4chữ số” “khác nhau” “khác 0” “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”.Điều kiện: “ 4chữ số” “khác nhau” không có gì đáng chú ý. Điều kiện “khác 0”chỉ đơn giản giúp ta không phải nghĩ đến trường hợp rắc rối khi số 0 đứng ở vị trí đầu. Điều kịên chủ chôt trong bài toán là: “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn trước 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ rồi xếp vị trí cho các chữ số đó.
Sơ đồ của bài toán là:
Lập số 
chọn 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ và khác 0
Hoán vị 4 chữ số đã chọn: có 4! cách
chọn 2 chữ số chẵn khác 0: có cách
chọn 2 chữ số lẻ: có cách
Có ..4! = 1440 số 
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau mà trong mỗi số có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ ( các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 đều là số lẻ)?
 Phân tích: Điều kiện chủ chôt trong bài toán là: “ có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa 2 chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn trước 4 chữ số lẻ, rồi ưu tiên xếp vị trí cho chữ số 0, chọn 2 số lẻ xếp trước và sau chữ số 0, rồi ta xếp vị trí cho 6 số còn lại.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Lập số có 9 chữ số
Chọn 4 chữ số lẻ có cách
Xếp vị trí cho chữ số 0: 7 cách 
Xếp 2 chữ số lẻ đứng hai bên số 0:
Có cách
Xếp 6 số còn lại: có 6! cách
Có .6! = 302400 cách
Ví dụ 3: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và trong mỗi số đó có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ?
 Phân tích: Điều kiện chủ chốt trong bài toán là: “ có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ”, ở bài toán này ta dùng phương pháp lấy trước rồi xếp sau. Mặt khác các số đề bài cho có cả số 0 nên ta sử dụng kết hợp thêm phương pháp phần bù:
Sơ đồ của bài toán như sau:
Xếp vị trí cho 4 số đã chọn
Lập số 
a có thể bằng 0
 a = 0
Chọn 2 chữ số chẵn
Chọn 3 chữ số lẻ
Xếp vị trí cho 5 số đã chọn
Chọn thêm 1 chữ số chẵn
Chọn 3 chữ số lẻ
Có số
 Ví dụ 4: Trong kỳ thi THPT quốc gia, tại hội đồng thi X, trường THPT A có 5 
thí sinh dự thi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 3 thí sinh của trường THPT A được 
xếp vào một phòng thi, biết rằng hội đồng thi X có 10 phòng thi, mỗi phòng thi có nhiều hơn 5 thí sinh và việc xếp các thí sinh vào các phòng thi là hoàn toàn ngẫu nhiên?
 Phân tích: Điều kiện chủ chốt của bài toán này là “3 thí sinh của trường A được xếp vào 1 phòng thi”. Để giải quyết bài toán này thì chúng ta chọn 3 thí sinh sau đó xếp 3 thí sinh này vào 1 phòng thi. Tiếp theo chúng ta sẽ xếp 2 thí sinh còn lại vào các phòng thi khác với phòng thi xếp 3 thí sinh trước.
Sơ đồ của bài toán như sau:
 Xếp học sinh
Chọn 3 thí sinh xếp vào 1 phòng: cách 
Xếp 3 thí sinh trên vào 1 phòng có 10 cách 
Xếp phòng thi cho 2 thí sinh còn : có 9.9 cách
Vậy số cách xếp là: 
.9.9.10 = 8100 cách
d. Phương pháp tạo vách ngăn:
 Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí trên đường thẳng coi chúng là các vách ngăn thì sẽ tạo được m+ 1 vách ngăn. Hoặc sắp xếp m đối tượng vào m vị trí trên đường tròn, coi chúng là các vách ngăn thì sẽ tạo được m vách ngăn.
 Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu của bài toán từ m+ 1 (hoặc m) vách ngăn.
 Ví dụ : Cho một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 12 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh này trên một bàn dài sao cho không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau?
 Phân tích: Điều kiện chủ chốt của bài toán là “ 2 nam không cạnh nhau”. Chúng ta thấy rằng không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau khi và chỉ khi giữa 2 bạn nam bất kỳ luôn có ít nhất một bạn nữ, hay nói cách khác, trong một khoảng giữa 2 bạn nữ liên tiếp không có nhiều hơn một bạn nam. Từ đó ta giải quyết bài toán này bằng cách đảm bảo rằng mỗi khoảng cách bất kì giữa 2 bạn nữ luôn có nhiều nhất 1 bạn nam.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Xếp học sinh
Xếp 12 bạn nữ vào bạn: 12!cách
Xếp 7 bạn nam vào 13 khoảng 1 cách thứ tự: 
Có 12!. cách
2.4. Hiệu quả chuyên đề đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
 Khi thực hiện đề tài “giải quyết bài toán quy tắc đếm bằng phương pháp lập sơ đồ” vào dạy học tôi nhận thấy tiết học đạt hiệu quả cao hơn so với cách dạy truyền thống là đọc chép hoặc một tiết dạy chỉ sử dụng bằng bài giảng điện tử cho học sinh nhìn chép. Khi dạy theo kĩ thuật lập sơ đồ để dạy bài “quy tắc đếm” và bài “Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp” (SGK Đại Số và Giải Tích 11) đặc biệt khi đến phần bài tập phần lớn gây được hứng thú cho học sinh, phát huy được tính tích cực cho học sinh tránh tình trạng lớp học thụ động, nhàm chán vì giáo viên không phải lặp đi lặp lại các câu hỏi có cấu trúc gần giống nhau. Qua cách học theo kĩ thuật lập sơ đồ học sinh có thể tư duy, so sánh được các nội dung kiến thức với nhau, qua đó khắc sâu được kiến thức đã học. 
 Trong năm học khảo sát 2 lớp 11A6 và 11A3, bằng bài kiểm tra 15p lớp 11A6 học khá đồng đều với lớp 11A3, tôi đã áp dụng đề tài trên trong quá trình giảng dạy 11A3, lớp 11A6 tôi sử dụng cách dạy truyền thống. Tỉ lệ học sinh giỏi, khá, trung bình của 11A3 nhìn nhận tốt. 
 Nhận xét: Đối với lớp 11A3 hầu hết các em đã làm bài tập thành thạo. Điểm khá, giỏi tăng lên nhiều, điểm yếu kém giảm đi đáng kể. Học sinh nắm được kiến thức một cách chắc chắn hơn, sâu rộng hơn. Học sinh có thể biết và hiểu thêm, hiểu hơn một số phương pháp giải toán. Học sinh có hứng thú học tập bộ môn nhiều hơn, say mê hơn. Việc phân loại các bài tập trong đề tài nhằm mục đích bồi dưỡng và phát triển kiến thức kỹ năng cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham gia tích cực của người học. Từ đó giúp học sinh có khả năng tự rút ra kiến thức, tự mình tham gia các hoạt động để củng cố vững chắc kiến thức, rèn luyện kỹ năng. Đối với lớp 11a. do tôi sử dụng cách dạy truyền thống nên điểm khá, giỏi không tăng lên nhiều, điểm yếu kém giảm đi nhưng không đáng kể. Từ đó ta nhận thấy tính hiệu quả khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm 
3. Kết luận, kiến nghị
 Môn toán cũng như nhiều môn học khác đòi hỏi sự chăm chỉ và nổ lực trong quá trình học tập. Sự đầu tư thời gian và công sức để học là một trong những nhân tố quan trọng làm nên thành công.
Khi dạy học các thầy cô không nên quá cứng nhắc về phương pháp, mà phải có sự linh hoạt trong từng bài giảng. Không dạy theo kiểu “thầy đọc trò chép”, vì hậu quả của nó là đến khi đi thi học trò sẽ “chép hết gì thầy đã đọc”. Nên dạy cho học sinh cách phân tích, đánh giá, tự mình chủ động tìm ra cách giải quyết cho bài toán đếm. Để học sinh thực sự nhập cuộc vào bài học, chủ động trong lối suy và cách nghĩ. Chúng ta cần đa dạng hóa cách dạy và cách học. 
Bản thân tôi sẽ luôn cố gắng, thường xuyên trau rồi chuyên môn, nghiệp vụ để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp và hiệu quả.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ nhiệt tình đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành biện pháp nâng cao chất lượng giáo dục này.
Mặc dù bản thân đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi không tránh khỏi những hạn chế. Kính mong sự đóng góp của các thầy cô để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11.
2. Phương pháp giải toán: Giải tích tổ hợp – Lê Hồng Đức chủ biên.
3. Chinh phục tổ hợp, xác suất