Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

ân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức.
 Cách làm:
 + Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
VD6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử.
	Cách 1: ( x2 – xy ) + ( x – y )
	 	Cách 2: ( x2 + x ) - ( xy + y )
Cách giải sai: 
x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )
	 = x( x – y ) + ( x – y )
	 = ( x – y )( x + 0)
Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.
Cách giải đúng:
x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y ) 
	 = x( x – y ) + 1.( x – y )
	 = ( x – y )( x + 1)
VD7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.
Giải:
x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – ( 2y )2 
 = ( x – 1 )2 – ( 2y )2 
 = ( x – 1 + 2y ) ( x – 1 – 2y )
VD8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Cách giải sai: 
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)
	 = ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )
	 = ( x – 2y )( x + 2y – 2 )
Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.
Cách giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)
	 = ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )
	 = ( x + 2y )( x – 2y – 2 )
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức. 
II- Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kỹ năng
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản: 
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
	+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
	+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
VD9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.
Gv: Xét từng phương pháp 
Hs: Thường mắc sai lầm là giải chưa hoàn chỉnh như sau:
	° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )
	° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)
 = x3( x – 9 ) + x( x – 9 )
 = ( x – 9 )( x3 + x )
Cách giải đúng:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 )
 = x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]
	= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]
	= x( x – 9 )(x2 + 1)
VD10: Phân tích đa thức A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
 Gợi ý: Aùp dụng hằng đẳng thức: 
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
 = A3+ B3 + 3AB( A + B)
 A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)
Giải:
A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 
 = [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3 
	 = ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3
	 = [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )
 = 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 )
 = 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 )
 = 3( x + y )( y + z )( x + z )
Khai thác bài toán:
Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz
Hướng dẫn:
x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy( x + y )
x + y + z = 0 x + y = - z 
III- Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy
1)Phương pháp tách hạng tử: 
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản đã học để giải.
 Cách làm:
Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác một cách thích hợp rồi áp dụng các phương pháp cơ bản để giải.
VD11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
	Gợi ý: Có nhiều cách phân tích.
Giải:
- Cách 1: Tách hạng tử 3x2
f(x) = 3x2 – 8x + 4 
 	 = 4x2 – 8x + 4 – x2 
 = ( 2x – 2 )2 – x2
 = ( 2x – 2 + x )( 2x – 2 – x )
	 = ( 3x – 2 )( x – 2 )
	- Cách 2: Tách hạng tử - 8x
	f(x) = 3x2 – 8x + 4 
	 = 3x2 – 6x – 2x + 4
	 = 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 )
	 = ( x – 2 )( 3x – 2 )
	- Cách 3: Tách hạng tử 4
f(x) = 3x2 – 8x + 4 
 = 3x2 – 12 – 8x + 16
 = 3( x2 – 22 ) – 8( x – 2 )
 = 3( x + 2 )( x – 2 ) – 8( x – 2 )
 = ( x – 2 )( 3x + 6 – 8 )
 = ( x – 2 )( 3x – 2 )
* Nhận xét:
- Cách 1: Tách hạng tử 3x2 làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương.
- Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau từ đó xuất hiện nhân tử chung ( x – 2 ).
- Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung.
Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là khâu quan trọng và cần thiết đối vối học sinh trong việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
Khai thác cách giải: Tách hạng tử - 8x
Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 có các hệ số ở các số hạng là: 3, -6, -2, 4 tỉ lệ với nhau hay (-6).(-2) = 3.4 và (-6) + (-2) = -8
f(x) = 3x2 – 8x + 4 
Đặt a = 3, b = -8, c = 4 và phân tích a.c = b1.b2 ( b = b1 + b2 )
 Ta có: a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2) = 12; b1 + b2 = (-6) + (-2) = -8.
Tổng quát:
+ Tìm tích ac.
+ Phân tích ac thành tích hai số nguyên.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
VD12: Phân tích đa thức f(x) = - 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử.
Đặt a = -6, b = 7, c = -2
+ a.c = (-6).(-2) = 12;
+ a.c = 3.4 = (-3).(-4) = (-6).(-2) = 6.2 = 12.1 = (-12).(-1) ;
+ b = 7 = 3 + 4
Giải:
f(x) = - 6x2 + 7x – 2
	 = (- 6x2 + 4x ) + ( 3x – 2 )
 = -2x( 3x – 2 ) + ( 3x – 2 )
 = ( 3x – 2 )( -2x + 1 )
* Lưu ý:
Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng được các phương pháp phân tích cơ bản đã học.
VD13: Phân tích đa thức f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.
Gợi ý: 
Tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
Giải:
f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 
 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
 = x( x3 + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
 = x( x + 1 )( x2 – x + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
 = ( x2 – x + 1 )( x2 + x – 30 )
 = ( x2 – x + 1 )( x – 5 )( x + 6 ).
2)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: 
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản đã học để giải.
 Cách làm:
Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa thức chuyển về dạng hiệu hai bình phương hoặc áp dụng phương pháp nhóm.
VD14: Phân tích đa thức f(x) = x4 + 4 thành nhân tử.
Giải:
f(x) = x4 + 4 
	 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 
	 = ( x2 + 2 )2 – ( 2x )2
 = ( x2 + 2 + 2x ) ( x2 + 2 – 2x ).
Khai thác bài toán:
- Thay “ 4 ” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64y4 
Hướng dẫn:
f(x) = x4 + 64y4 
 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) - 16 x2y2
 = ( x2 + 8y2 )2 – ( 4xy )2
 = ( x2 + 8y2 + 4xy )( x2 + 8y2 – 4xy ).
- Thay “ 4 ” thành “ 64 ”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64 
Hướng dẫn:
f(x) = x4 + 64 
 = x4 + 16x2 + 64 – 16x2
 = ( x2 + 8 )2 – ( 4x )2
 = ( x2 + 8 + 4x )( x2 + 8 – 4x ).
VD15: Phân tích đa thức f(x) = x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Giải:
f(x) = x4 + x2 + 1 
 = x4 – x + x2 + x + 1 
 = ( x4 – x ) + ( x2 + x + 1 ) 
 = x( x3 – 1 ) + ( x2 + x + 1 )
 = x( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) + ( x2 + x + 1 )
 = ( x2 + x + 1 ) ( x2 – x + 1 ).
PHẦN 3: BIỆN PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN
1)Biện pháp:
- Để thực hiện tốt kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần củng cố các kiến thức cơ bản sau cho học sinh :
+ Các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở lớp 6,7.
+ Đầu chương trình lớp 8 là phép nhân: Đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần:
+ Quan sát đặc điểm của bài toán: Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán.
+ Nhận dạng bài toán: Bài toán thuộc dạng nào? Aùp dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp.
* Lưu ý:
 ° Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử.
 ° Trong phương pháp nhóm các hạng tử học sinh thường nhóm chưa hợp lý và đặt sai dấu.
- Việc giải bài toán theo các định hướng trên tạo cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát và nhận dạng bài toán, có cách nhận xét bài theo quy trình nhất định từ đó biết lựa chọn phương pháp giải thích hợp vận dụng cho từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải tóan, rèn khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo.
2)Kết quả:
Các biện pháp trên góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh được thống kê qua các giai đoạn như sau:
THỜI ĐIỂM
Học sinh có kỹ năng giải bài toán
Học sinh chưa có kỹ năng giải bài toán
SL
TL
SL
TL
Từ tháng 9 đến KSCL đầu năm
19
45,2%
23
54,8%
Từ tháng 11 đến thi HKI
25
59,5%
17
40,5%
Từ tháng 01- 2019 đến giữa HKII
33
78,6%
9
21,4%

Tóm lại:
Trước khi áp dụng phương pháp trên tôi nhận thấy nhiều học sinh nhìn nhận giải quyết bài toán chưa đúng, chưa biết quan sát để thấy được đặc điểm của đề bài, chưa nắm được phương pháp giải từng dạng toán. Cho nên nhiều học sinh làm bài còn mơ hồ, trình bày không khoa học thiếu tính logíc, kỹ năng biến đổi còn hạn chế và chưa biết tự kiểm tra kết quả.
Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán ở dạng bài tập này. Phương pháp này giúp cho các học sinh yếu, học sinh trung bình nắm vững chắc về cách phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học và rèn kỹ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua các dạng bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá, giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn phát huy được tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong việc học toán. 
C- KẾT LUẬN
1)Bài học kinh nghiệm:
- Đối với học sinh yếu, kém: Là một quá trình liên tục củng cố và rèn luyện các kỹ năng để vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán. Giáo viên cần cho học sinh thực hành theo bài tập mẫu với các bài tương tự từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên cho học sinh làm các bài tập khác với nội dung của SGK.
- Đối với học sinh trung bình: Cần chú ý cho học sinh nắm chắc các phương pháp cơ bản, kỹ năng biến đổi và vận dụng các phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể từ đó rèn luyện khả năng tự học, chủ động chiếm lĩnh kiến thức mới.
- Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác thông qua các bài tập dạng nâng cao giúp học sinh vận dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong lựa chọn các phương pháp. Qua đó kích thích óc tìm tòi, sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho học sinh.
- Đối với giáo viên: Phải định hướng và vạch ra những dạng toán giúp học sinh tìm ra các phương pháp giải hợp lý từ đó nắm vững các dạng toán, rèn kỹ năng phân tích từng dạng bài tập. Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên. Đồng thời giáo viên phải tạo ra không khí tích cực trong khi giải bài tập đối với mọi đối tượng học sinh. Muốn vậy giáo viên cần tác động đến từng đối tượng sao cho phù hợp. Chẳng hạn đối với học sinh yếu, kém, trung bình nên gợi ý tỉ mỉ, học sinh khá, giỏi cần nêu nét cơ bản hướng học sinh theo con đường cần đi đến. Nên để cho học sinh tích cực tìm tòi sáng tạo như vậy mới phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh.
2)Hướng phổ biến, áp dụng và nghiên cứu tiếp của đề tài:
- Sau thời gian nghiên cứu, vận dụng các phương pháp rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đại số 8. Tôi nhận thấy kết quả bước đầu học sinh tiến bộ đáng kể, giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán khó hơn các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa. 
- Đề tài này có thể áp dụng thực hiện trong tổ chuyên môn, khối 8 đồng thời làm tài liệu tham khảo ở các khối khác trong năm học tới.
- Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần như xuyên suốt chương trình đại số 8, được áp dụng để nâng cao chất lượng học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi. Vì vậy việc tổ chức cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản theo yêu cầu của chương trình, có kỹ năng giải toán thành thạo là hết sức quan trọng. Việc áp dụng đề tài này cần phải có thời gian, phải được tiến hành một cách hệ thống. Do vậy hình thức tổ chức là các buổi luyện tập, ôn tập giáo viên phân dạng bài tập và trình bày theo hệ thống kiến thức.
- Để áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh và trong quá trình dạy phải khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học và tự học. Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi các bài tập liên quan, cách giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập tiếp theo trong chương trình sách giáo khoa THCS.
- Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm của bản thân tôi, thông qua thực trạng học sinh của lớp 8/1 trong năm học 2018 – 2019 mà tôi xây dựng để cho tiết học đạt hiệu quả. Song vẫn còn một số thiếu sót, hạn chế của nó rất mong sự góp ý của các bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
- Với đề tài này, tôi có thể áp dụng nghiên cứu tiếp trong các năm học sau và tự tìm tòi rút ra những kinh nghiệm thực tiễn để nâng cao chất lượng dạy và học. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa đại số 8 – Nhà xuất bản giáo dục 
Sách giáo viên đại số 8 – Nhà xuất bản giáo dục
Vỡ bài tập đại số 8 – Nhà xuất bản giáo dục
Thực hành dạy toán THCS – Nhà xuất bản giáo dục
Các phương pháp đổi mới dạy học toán – Nhà xuất bản giáo dục
 6. Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS – Phạm Phu – Nhà xuất bản đại học sư phạm – Xuất bản năm 2005.
7. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 – Bùi Văn Tuyên – Nhà xuất bản giáo dục – Xuất bản năm 2004.
Ý KIẾN NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
CẤP TRƯỜNG:
 Nhận xét:
.........
 Xếp loại:
.................