Sáng kiến kinh nghiệm Dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn

 thống bài tập có nội dung dùng truy ngược hàm 
để đọc đồ thị hàm ẩn trong dạy học; Giải pháp 2: Lựa chọn hình thức, phương pháp 
và thời điểm sử dụng các bài tập chứa nội dung dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị 
hàm ẩn trong dạy học; Giải pháp 3: Chú trọng lựa chọn các bài toán và tổ chức các 
hoạt động học tập phù hợp để rèn luyện các bài toán dùng truy ngược hàm để đọc 
đồ thị hàm ẩn; Giải pháp 4: Tổ chức cho học sinh tìm tòi, mở rộng, nâng cao bài 
toán. 
Link khảo sát: https://forms.gle/SivALsmRMLL4F6669 
3.1.2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá 
* Phương pháp được sử dụng để khảo sát là Trao đổi bằng bảng hỏi với 4 câu 
hỏi qua phần mềm Google Form. Để khẳng định tính cấp thiết và khả thi của các 
biện pháp đã đề xuất trong đề tài, tôi đã trưng cầu ý kiến của các đối tượng có liên 
quan theo các bước sau: 
- Bước 1: Thiết kế phiếu điều tra 
- Bước 2: Lựa chọn đối tượng điều tra 
- Bước 3: Tiến hành điều tra. 
- Bước 4: Thu thập, xử lý kết quả, phân tích kết quả điều tra. 
 * Thang đánh giá: Tôi sử dụng thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm 
số từ 1 đến 4): 
- Mức độ cấp thiết: Không cấp thiết (1 điểm); Ít cấp thiết (2 điểm); Cấp thiết 
(3 điểm) và Rất cấp thiết (4 điểm). 
- Mức độ khả thi: Không khả thi (1 điểm); Ít khả thi (2 điểm); Khả thi (3 điểm) 
và Rất khả thi (4 điểm). 
* Cách tính điểm trung bình : sau khi thu được kết quả điều tra thông qua 
Google Form tôi đã sử dụng phần mềm Excel để tính điểm trung bình của các đối 
tượng khảo sát. 
Nhận xét tính cấp thiết và khả thi: Nếu điểm trung bình Từ 3- 4 điểm: rất 
cấp thiết, rất khả thi; từ 2- 3 điểm: khả thi, cấp thiết; từ 1-2 điểm: ít cấp thiết, ít khả 
thi; từ 0 – 1 điểm: không cấp thiết, không khả thi. 
3.1.3. Các đối tượng khảo sát 
Tôi đã tiến hành khảo sát các vấn đề, giải pháp cho các GV môn Toán học 
___
X
___
X
40 
và các học sinh tại đơn vị và các trường lân cận. 
TT Đối tượng số lượng 
1 Giáo viên toán Đô lương 2 7 
2 Giáo viên toán Đô lương 4 3 
3 Giáo viên toán THPT Con Cuông 5 
4 Lớp 12C1 Đô lương 2 6 
5 Lớp 12C2 Đô lương 2 32 
6 Lớp 12A4 Đô lương 2 9 
Tổng 62 
3.1.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất 
3.1.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
 Sau khi khảo sát, thu thập và xử lý số liệu, tôi đã thu được kết quả sau: 
TT 
Các giải 
Pháp 
Các thông số 
Tổng 
Điểm 
tb 
___
X 
Mức 
Rất cấp 
thiết 
(4 điểm) 
Cấp thiết 
(3 điểm) 
Ít cấp 
thiết 
(2 điểm) 
Không 
cấp thiết 
(1 điểm) 
1 
Giải 
pháp 1 19 37 4 2 62 3.1774 
Rất cấp 
thiết 
2 
Giải 
pháp 2 22 34 3 2 61 3.2459 
Rất cấp 
thiết 
3 
Giải 
pháp 3 21 34 3 3 61 3.1967 
Rất cấp 
thiết 
4 
Giải 
pháp 4 21 35 3 1 60 3.2666 
Rất cấp 
thiết 
Tb 3.2216 
Qua bảng trên cho thấy, mức độ cần thiết của 04 biện pháp được đánh giá cao 
(điểm trung bình là 3.221677) và khá đồng đều. 
Xếp thứ bậc cao nhất là biện pháp thứ tự 4 – chứng tỏ HS rất cần được giáo 
viên hướng dẫn để tìm tòi, mở rộng dạng toán này. Điều này cũng khá hợp lý bởi vì 
việc tổ chức cho học sinh tìm tòi, mở rộng, nâng cao bài toán là vô cùng quan trọng 
đối với mỗi HS. Ở thứ bậc số 2 là giải pháp 2: Lựa chọn hình thức, phương pháp và 
thời điểm sử dụng các bài tập chứa nội dung dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm 
ẩn trong dạy học. Điều này cũng dễ hiểu, bởi lẽ dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị 
hàm ẩn là dạng toán quan trọng và có thể nói là hóc búa, đòi hỏi tư duy cao ở học 
sinh, nên các em rất cần giáo viên lựa chọn hình thức, phương pháp và thời điểm 
thích hợp để hướng giẫn các em. Biện pháp 3: Chú trọng lựa chọn các bài toán và tổ 
chức các hoạt động học tập phù hợp để rèn luyện các bài toán dùng truy ngược hàm 
41 
để đọc đồ thị hàm ẩn xếp vị trí thứ 3 cho thấy HS muốn được tiếp cận nhiều hơn các 
bài tập về dạng toán này. Cuối cùng là biện pháp số 3 cho ta thấy hệ thống bài tập 
rất quan trọng, nhưng cần có hình thức tổ chức và hướng dẫn các em tìm tòi nâng 
cao là rất cần thiết. 
3.1.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất. 
Kết quả khảo sát, xử lý số liệu về tính khả thi của các giải pháp thu được: 
T
T 
Các giải 
Pháp 
Các thông số 
Mức 
Rất khả 
thi 
(4 điểm) 
Khả thi 
(3 điểm) 
Ít khả thi 
(2 điểm) 
Không 
khả thi 
(1 điểm) 
Tổng 
Điểm tb 
___
X 
1 
Giải 
pháp 1 20 39 0 2 61 3.26229 
Rất cấp 
thiết 
2 
Giải 
pháp 2 20 37 2 2 61 3.22950 
Rất cấp 
thiết 
3 
Giải 
pháp 3 24 33 2 2 61 3.29508 
Rất cấp 
thiết 
4 
Giải 
pháp 4 25 31 2 2 60 3.31666 
Rất cấp 
thiết 
Tb 3.27588 
Từ bảng trên cho thấy, tính khả thi của 4 giải pháp đề xuất là tương đồng và 
cao (trung bình là 3.275888 điểm). 
Xếp thứ bậc cao nhất về tính khả thi là biện pháp thứ tự 4 - điều đó là hoàn 
toàn hợp lý, bởi tổ chức cho học sinh tìm tòi, mở rộng, nâng cao bài toán là hoàn 
toàn có thể thực hiện được khi nội dung đã được dạy và sự tâm huyết của giáo viên, 
sự ham học hỏi của học sinh. Giải pháp 2 lựa chọn hình thức, phương pháp và thời 
điểm sử dụng các bài tập chứa nội dung dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn 
trong dạy học là thấp nhất bởi hiện tại nội dung sáng kiến cũng mới chỉ một số ít em 
học sinh khảo sát được tiếp cận. Rất mong quý ban giám khảo, các thầy cô giáo và 
bạn bè đồng nghiệp xem xét, để bản SK được triển khai rộng rãi, là nguồn tài liệu 
mới quan trọng bổ ích cho các em học sinh. 
Một số hình ảnh xử lý các thông tin và số liệu khảo sát. 
42 
43 
44 
3.1.4.3. Khảo sát sự tương quan giữa tính cần thiết và tính khả thi của các biện pháp 
đề xuất. 
Bảng đánh giá sự tương quan giữa tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp. 
Giải pháp 
Điểm trung bình 
Hệ số tương 
quan 
Tính cấp thiết 
Tính khả thi 
0.175069634 
Giải pháp 1 3.177419 3.262295 
Giải pháp 2 3.245902 3.229508 
Giải pháp 3 3.196721 3.295082 
Giải pháp 4 3.266667 3.316667 
Biểu đồ thể hiện mối tương quan giữa tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp 
Qua bảng đánh giá mối tương quan và qua biểu đồ ta thấy tính cấp thiết và 
tính khả thi của 04 giải pháp đề xuất được đánh giá khá tương đương nhau, đồng 
thời khá cao (  3.177419;3.266667X ;(  3.229508;3.316667X ). Sự chênh lệch về 
điểm trung bình chung giữa tính khả thi (3.221677) và tính cần thiết (3.275888) 
3.1
3.2
3.3
3.4
1 2 3 4
Chart Title
Cấp thiết Khả thi
45 
không nhiều đã phản ánh thực tế việc tìm ra các biện pháp là rất cần thiết, song vận 
dụng hiệu quả chúng vào thực tiễn là không hề đơn giản, dễ dàng. 
Đánh giá về mức độ tương quan giữa tính cần thiết và tính khả thi của các giải 
pháp được đề xuất, tôi có sử dụng công thức tính hệ số tương quan r bằng hàm 
Correl: 
Ta tính được r = 0.175069634 > 0, như vậy tương quan giữa tính cần thiết và tính 
khả thi của các giải pháp được đề xuất là thuận và chặt chẽ, tức là giữa mức độ cần 
thiết và khả thi ở mỗi giải pháp có sự phù hợp rất cao. Do đó, các giải pháp được đề 
xuất là cần thiết và khả thi trong việc tổ chức dạy và học nội dung dùng truy ngược 
hàm để đọc đồ thị hàm ẩn. 
3.2. Thực nghiệm sư phạm và đánh giá hiệu quả đề tài 
Sau khi khảo sát, tôi thấy các vấn đề, giải pháp mà đề tài đã đề xuất rất cấp 
thiết và khả thi trong giai đoạn hiện nay, tôi đã tiến hành thực nghiệm để xác định 
hiệu quả và ý nghĩa của đề tài. 
3.2.1. Mục đích thực nghiệm 
Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích: 
- Kiểm tra tính đúng đắn của các giả thuyết đã nêu trong đề tài. 
- Đánh giá tính khả thi của việc thiết kế và sử dụng các bài có nội dung dùng 
truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm số trong dạy và học. 
Kết quả của thực nghiệm sẽ chứng minh giá trị thực tiễn, tính khách quan và tính 
khoa học của các kết quả nghiên cứu lí thuyết mà đề tài đã xác lập được. 
3.2.2. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 
3.2.2.1. Địa điểm, thời gian, nội dung thực nghiệm. 
Thực nghiệm sư phạm triển khai tại địa điểm trường THPT Đô lương 2 cụ thể: 
Trước khi tiến hành thực nghiệm sư phạm, tôi đã tiến hành kiểm tra, lựa chọn lớp 
12C2 có mức độ nhận thức khá tốt, phù hợp với nội dung đề tài. 
3.2.2.2. Một số hình ảnh dạy thực nghiệm 
46 
3.2.2.3. Phương pháp thực nghiệm 
- Theo dõi và quan sát trực tiếp học sinh trong tiến trình thực nghiệm. 
- Đánh giá kết quả học tập thông qua kết quả bài kiểm tra 15’: Cả lớp thực nghiệm 
được kiểm tra cùng 01 đề, bài kiểm tra của lớp thực nghiệm cùng chấm theo thang 
điểm 10 và cùng 01 biểu điểm. Bài kiểm tra dưới hình thức trắc nghiệm khách quan. 
- Sử dụng phương pháp thống kê điểm số sau khi tiến hành thực nghiệm sư phạm 
bằng bài kiểm tra. 
3.2.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm. 
3.2.3.1. Đánh giá kết quả bài kiểm tra 
Đánh giá qua bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan trên ứng dụng Azota. 
Link đề bài kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm: https://azota.vn/de-thi/8w3a34 
Link đề bài kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm: https://azota.vn/de-thi/l0nmql 
Kết quả bài kiểm tra đánh giá trước và sau khi dạy thực nghiệm thu được như sau: 
Bảng 1: Phân phối kết quả kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm (được cắt ra trong 
ứng dụng ra đề và làm bài thi online Azota). 
Bảng 2: Phân phối kết quả kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm (được cắt ra trong 
ứng dụng ra đề và làm bài thi online Azota). 
Qua so sánh 2 bảng ( bảng 1 và bảng 2) chúng ta thấy: 
- Trước khi dạy thực nghiệm: 
+ Có tới 24,24% học sinh điểm dưới 1. 
47 
+ Chỉ có 21,21% số học sinh đạt điểm trên 5. 
+ Điểm trung bình của cả lớp là rất thấp (3,64 điểm). 
Điều đó chứng tỏ phần kiến thức liên quan tới nội dung của sáng kiến các em học 
sinh chưa được trang bị và tiếp cận. Do đó các em làm bài chưa đạt hiệu quả. 
- Sau khi dạy thực nghiệm: 
+ Không có học sinh nào dưới 5 điểm. 
+ Hơn 87,5% học sinh đạt 10 điểm. 
+ Điểm trung bình của cả lớp là rất cao (9,61 điểm). 
Điều đó chứng tỏ rằng khi đã được thầy cô hướng dẫn tìm tòi và khai thác phần kiến 
thức liên quan tới nội dung sáng kiến thì các em học sinh hiểu bài và làm bài thật sự 
hiệu quả. 
Từ kết quả có thể cho thấy, việc vận dụng phần kiến thức liên quan tới nội 
dung sáng kiến mà chúng tôi thực hiện trong quá trình dạy học thực nghiệm đã có 
những tác động tích cực đến kết quả học tập của HS. 
3.2.3.2. Kết quả theo dõi và quan sát trực tiếp học sinh trong quá trình thực 
nghiệm. 
Qua quá trình giảng dạy thực nghiệm sư phạm ở trường THPT Đô Lương 2 
tỉnh Nghệ An kết hợp quá trình theo dõi tôi nhận thấy: Đối với lớp thực nghiệm dạy 
học có vận dụng phần kiến thức dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn, đa số 
HS đều tự giác tham gia vào hoạt động học tập, các em tỏ ra rất hứng thú và tham 
gia hoạt động tích cực, có những em học sinh trong lớp rất ít khi tham gia xây dựng 
bài cũng trở nên rất hứng thú đóng góp ý kiến tạo cho không khí lớp học sôi nổi hơn, 
học sinh nắm kiến thức một cách vững chắc, phát huy được tính tích cực, chủ động 
và sáng tạo. 
3.2.4. Kết luận thực nghiệm 
Thực tiễn việc vận dụng phần kiến thức dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị 
hàm ẩn trong dạy học cho HS lớp 12C2 ở trường THPT Đô Lương 2 đã mang lại 
hiệu quả tốt trong học tập. HS tham gia các hoạt động, phát hiện, khám phá, giải 
quyết vấn đề, nghiên cứu giải pháp, củng cố khắc sâu kiến thức... và tự học để hoàn 
thành nhiệm vụ học tập. Học sinh đã chủ động việc học tập của mình, dẫn đến có sự 
tìm tòi sáng tạo, từ đó có niềm say mê, hứng thú trong học tập và tự nghiên cứu. Bài 
học được xây dựng có vận dụng phần kiến thức dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị 
hàm ẩn giúp học sinh phát triển được phẩm chất, năng lực, khám phá tri thức và vận 
dụng những kiến thức đã học vào giải quyết vấn đề. Cụ thể: 
- Trong quá trình thực hiện đề tài, giáo viên đã rèn luyện cho học sinh những tri thức 
phương pháp để học sinh biết cách lựa chọn các tài liệu học tập, tìm những thông 
tin, những nguồn tài liệu trên Internet, biết cách suy luận để tìm tòi và phát hiện 
những cách giải quyết vấn đề mới, rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như 
48 
phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá... để dần hình thành và phát triển tiềm 
năng sáng tạo, hình thành và phát huy được kĩ năng tích hợp trong quá trình học và 
làm bài. Các em học tập hào hứng hơn, tích cực, chủ động và sáng tạo kể cả khi 
luyện tập hay làm bài kiểm tra cũng có thái độ nghiêm túc, tích cực hơn. Nhờ vậy 
kết quả học tập được cải thiện rõ rệt. 
49 
PHẦN 3: KẾT LUẬN 
3.1. Tính mới. 
“Dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn” là dạng toán mới lạ mà bản thân 
đã tìm tòi sáng tạo trong quá trình giảng dạy cũng như giải toán. Hiện tại sách giáo 
khoa hay các tài liệu chính thống vẫn chưa viết nhiều về vấn đề này. Thời gian qua, 
trên các trang mạng cũng có những bài viết về dạng toán này, tuy nhiên đó vẫn là ít 
ỏi những bài viết rời rạc, chưa có tính hệ thống. Đề tài cung cấp cho các em học sinh 
nguồn tài liệu mới quan trọng, là hệ thống bài tập logic giúp các em có tư duy tốt 
hơn cho bài toán hàm ẩn đặc biệt là bài toán dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm 
ẩn. 
3.2. Tính khoa học. 
- Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng , mắc nhiều sai lầm và thậm chí là 
không có định hình về lời giải trong việc đọc đồ thị hàm ẩn. 
 - Góp phần gây hứng thú học tập phần đồ thị hàm ẩn cho học sinh, một trong 
các phần được coi là hóc búa, đòi hỏi tính tư duy cao. 
 - Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then 
chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo. 
 - Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần 
nâng cao chất lượng dạy học. 
3.3. Tính hiệu quả. 
 Cụ thể, qua hai bài kiểm tra trước và sau khi học: "Dùng truy ngược hàm để đọc 
đồ thị hàm ẩn", tôi đã thống kê kết quả và thấy hiệu quả rõ rệt của sáng kiến kinh 
nghiệm này. Điều đó được thể hiện rõ hơn qua các số liệu trong phần khảo sát. 
3.4. Kiến nghị và đề xuất. 
- Trong quá trình dạy học về ứng dụng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tôi thấy dùng 
truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn chưa được trình bày một cách đầy đủ, rõ ràng. 
Vì vậy, học sinh lớp 12 vẫn thấy “ngại” và không có hướng giải khi gặp các bài toán 
có liên quan. Rất mong có thêm nhiều tài liệu hơn nữa viết về đề tài này để góp phần 
cho việc dạy và học đạt hiệu quả cao hơn. 
- Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy tài liệu này rất hữu ích đối với giáo viên 
và đã mang lại những kết quả khả quan khi dạy học sinh. Hy vọng nó sẽ trở thành 
tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh và những người quan tâm đến vấn đề 
này. Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót. Rất 
mong được sự đóng góp ý kiến của quý độc giả. 
 Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, các em học sinh đã 
hỗ trợ và giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này. 
50 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa. 
2. Các đề thi THPTQG môn toán từ năm học 2017 – 2018 đến nay. 
3. Bản sáng kiến “Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát triển tư duy bài toán 
truy ngược hàm” năm học 2021 - 2022 của chính tác giả. 
4. Các tài liệu trên mạng internet.