Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học phát triển năng lực học sinh qua bài Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

 {x| xÎA vaø xÏB}
xÎA\B
Û x Î A
x Ï B
B
b;Tính chất A\ Æ =A A\A= Æ
A\B≠B\A
Biểu diễn bằng sơ đồ Ven.
c; Phương pháp tìm hiệu của hai tập hợp A\ B:
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn.
-Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần không thuộc tập A (Dùng 1 kiểu gạch)
-Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B (Dùng 1 kiểu gạch khác hoặc màu khác )
-Đọc kết quả: Phần không bị gạch(Phần trắng) là hiệu của hai tập hợp A\ B
d;Các ví dụ
VD1: Cho tập A= [-4; 0) , B=(-¥; -2)
Tìm
A \ B
\\/\/\/\/\/\/\/\/\[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)	)//////////////////////////////////////////
-4	-2	0
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn.
-Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần không thuộc tập A (gạch màu xanh)
-Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B (gạch màu đỏ)
-Đọc kết quả: Phần không bị gạch là hiệu của A và B.Vậy
A \ B = [-2; 0)
VD2: Cho tập A= (-¥;1) , B=[-3;5] Tìm
A \ B
[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/]//////////////////////////////
-3	1	5
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn.
-Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần không thuộc tập A (gạch màu đen)
-Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B (gạch màu đỏ)
-Đọc kết quả: Phần không bị gạch là hiệu của B và A.Vậy
Phép lấy phần bù a; Định nghĩa :
Neáu A Ì E thì	CEA = E\A = {x ,xÎE vaø xÏA}
b;Tính chất
Biểu diễn bằng sơ đồ Ven.
A \ B = (-¥; -3)
E
A
c; Phương pháp tìm phần bù của B trong A
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn.
-Biểu diễn tập A, gạch phần không thuộc A
-Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B
-Đọc kết quả: Phần không bị gạch(Phần trắng) là phần bù của B trong A
d.Các ví dụ
VD1: Cho tập A= [-4; 0) , B=(-2; 0)
Tìm
A \ B
////////[	(\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)//////////////////////////////////////////
-4	-2	0
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn.
-Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần không thuộc tập A (gạch màu xanh)
-Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B (gạch màu đỏ)
-Đọc kết quả: Phần không bị gạch là hiệu của A và B.Vậy
Sử dụng trục số tìm nhiều phép toán tập hợp.
A \ B = [-4; -2]
Trong thực tế giải toán không chỉ mỗi việc tìm giao, hợp, hay hiệu của hai tập hợp mà học sinh sẽ đối mặt với nhiều phép toán khác nhau trên cùng một bài toán. Vì vậy giáo viên cần giới thiệu và hướng dẫn học sinh cách làm đối với dạng bài tập này .Từ đó nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo cũng như rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh.
VD1: Cho tập A= (-¥; -1) , B=[-3; 2]
a; Tìm ( A Ç B) È C b; Tìm ( A È B) \ C c; Tìm ( A \ B) È C d; Tìm ( A Ç B) \ C
C = [1; +¥) ,
Giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải trên trục số như sau: a;Tìm ( A Ç B) È C
Phân tích:
x Î( A Ç B) È C Û é x Î A Ç B
ê x Î C
ë
Ta có thể tìm giao của A và B trước rồi sau đó lấy hợp với C sau. Nhưng nếu không biết biểu diễn trên một trục số sẽ lẫn lộn chỗ lấy và không lấy khiến học sinh lúng túng, nhất là khi các em chưa thành thạo trong kĩ năng này. Vậy các bước làm cụ thể như sau:
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút theo thứ tự tăng dần
-Biểu diễn tập C và tô đậm tập C (màu đỏ)
-Biểu diễn tập A và gạch phần không thuộc A(trừ những chỗ đã tô đậm của tập C)- gạch chéo màu tím.
-Biểu diễn tập B và gạch bỏ phần không thuộc B (trừ những chỗ đã tô đậm của tập C) – gạch chéo màu đen.
-Đọc kết quả: Là phần không bị gạch và phần tô đậm của tập C
////////[	)\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\[	]	
-3	-1	1	2
Dựa vào trục số trên ta có ngay kết quả là ( A Ç B) È C = [-3; -1) È[1; +¥)
b; Tìm ( A È B) \ C
Phân tích:
x Î( A È B) \ C Û ìx Î A È B
íx Ï C
î
Vậy ta có thể tìm hợp của A và B trước rồi sau đó trừ đi tập C sau. Vậy các bước làm cụ thể như sau:
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút theo thứ tự tăng dần
-Biểu diễn tập A và tô đậm tập A=(-¥; -1) (màu cam)
-Biểu diễn tập B và tô đậm tập B= [-3; 2] (màu cam)
-Biểu diễn tập C và gạch bỏ tập C = [1; +¥) (gạch chéo màu đen)
-Đọc kết quả: Là phần tô đậm không bị gạch.
[	)	[//////////////]////////////////////////////
-3	-1	1	2
Dựa vào trục số trên ta có ngay kết quả là ( A È B) \ C = (-¥;1)
c; Tìm ( A \ B) È C
Phân tích:
x Î( A \ B) È C Û é x Î A \ B
ê x Î C
ë
Vậy ta có thể tìm hiệu của A và B trước rồi sau đó hợp với tập C sau. Vậy các bước làm cụ thể như sau:
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút theo thứ tự tăng dần
-Biểu diễn tập C và tô đậm tập C = [1; +¥) (màu cam)
-Biểu diễn tập A và gạch bỏ phần không thuộc A=(-¥; -1)
C) – gạch chéo màu tím
(trừ phần thuộc tập
-Biểu diễn tập B và gạch bỏ tập B= [-3; 2] (trừ phần thuộc tập C)- gạch chéo màu đen.
-Đọc kết quả: Là phần tô đậm và phần không bị gạch.
[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)\\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\[	]	
-3	-1	1	2
Dựa vào trục số trên ta có ngay kết quả là ( A \ B) È C = (-¥; -3) È[1; +¥)
d; Tìm ( A Ç B) \ C
Phân tích:
x Î( A Ç B) \ C Û ìx Î A Ç B
íx Ï C
î
Vậy ta có thể tìm giao của A và B trước rồi sau đó trừ đi tập C sau. Vậy các bước làm cụ thể như sau:
-Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút theo thứ tự tăng dần
-Biểu diễn tập C = [1; +¥) và gạch bỏ tập C = [1; +¥) (gạch chéo màu đỏ)
-Biểu diễn tập đen)
A = (-¥; -1)
và gạch bỏ phần không thuộc A( gạch chéo màu
-Biểu diễn tập xanh)
B = [-3; 2]
và gạch bỏ phần không thuộc tập B (gạch đứng màu
-Đọc kết quả: Là phần không bị gạch.
|||||||||[	) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\[\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\]|/|/||/|/||/|/|/||/|/||/|/|/||/|/||/|/|/||/|/|/||/|/||/|/|/||/\/\/
-3	-1	1	2
Dựa vào trục số trên ta có ngay kết quả là ( A Ç B) \ C = [-3; -1)
Nhận xét:
- Dựa vào trục số ta có thể tiến hành nhiều phép toán tập hợp cùng một lúc. Tất nhiên nhiều học sinh có thể tách ra thành nhiều bước làm khác nhau nhưng sẽ vất vả hơn. Dựa trên việc phân tích hướng đi đúng, quan trọng là nắm vững phép toán thì không có bài nào là ta phải đầu hàng.
-Phương pháp trên giáo viên thường chỉ hướng dẫn đối với học sinh khi mới tiếp cận kiến thức này và sau khi đã thành thạo rồi các em sẽ chẳng cần dùng đến trục số làm gì, tất cả các bước học sinh có thể nhẩm tính trong đầu, học sinh có thể chỉ đưa ra kết quả đúng.
Các ví dụ ứng dụng của phép toán tập hợp
Phép toán tập hợp hầu như được tất các các môn học áp dụng, nhất là trong toán học phép toán tập hợp có mặt trong các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình....Sau đây giáo viên giới thiệu một số ví dụ để học sinh làm quen và nhận thức đúng đắn về tầm quan trọng của chương học này.
Ví dụ 1: Cho A=[0;1];
B = éëa2;2ùû . Tìm điều kiện của a để A Ç B = Æ
Gv hướng dẫn học sinh làm như sau:
Vẽ trục số: Biểu diễn tập A=[0;1], gạch bỏ phần không thuộc A
/////////////////[	]//////////[//////////////]//////////////////////////////
0	A	1	a2	B	2
Để A Ç B = Æ thì tập B phải nằm trong vùng bị gạch. Vậy có hai khả năng
Hoặc B là tập con của tập(1; +¥)
(hình trên) tức là
a2 > 1 Û éa > 1
êa < -1
ë
Hoặc B là tập con của tập (-¥;0) (loại do a2
³ 0 )
Ví dụ 2:	Cho
A = [a; a + 2],
B = [b;b +1] .
Tìm điều kiện của a, b để A Ç B ¹ Æ
Giáo viên có thể định hướng cho học sinh hai cách làm khác nhau:
-Làm trực tiếp: Với cách làm này hs phải xét nhiều trường hợp hơn, bài toán sẽ rối hơn.
-Làm gián tiếp: Ta tìm điều kiện để tập A Ç B = Æsau đó tìm được a,b thỏa mãn bài toán.
Để A Ç B = Æ thì A, B phải rời rạc nhau tức là có hai khả năng xảy ra
+ Trường hợp 1: Hình vẽ sau
A	B
//\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/[//////////////]/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\ a	a+2	b	b+1
Với trường hợp này ta có điều kiện của a, b như sau: a+2<b hay a-b<-2 Trường hợp 2: Hình vẽ sau
B	A
\\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\[\\\\\\\\\\\\\]\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\[\ ////////////////////////]\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/// b	b+1	a	a+2
Với trường hợp này ta có điều kiện của a, b như sau: b+11
Vậy để
A Ç B = Æ Û éa - b < -2 Þ
êa - b > 1
ë
A Ç B ¹ Æ Û a - b Î[-2;1]
Khi gặp bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình ...thường học sinh gặp phải câu chốt nghiệm. Nó thường có dạng của hợp, giao ..của nhiều tập hợp. Lúc này kĩ năng tìm phép toán tập hợp được phát huy, có thể học sinh chỉ cần ghi đáp án đúng nhưng quy trình làm ngoài giấy nháp vẫn phải đảm bảo thứ tự của nó.
Ví dụ 6: Trong 42 học sinh của lớp 10B3 có 31 bạn được xếp loại học lực giỏi- khá, 33 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 30 bạn vừa học lực giỏi- khá, vừa có hạnh kiểm tốt. Vậy lớp 10B3 có bao nhiêu học sinh không đạt 1 trong các tiêu chí trên?
Đây là bài toán mà lớp tôi chủ nhiệm gặp phải vào cuối năm học vừa qua, tất nhiên trên thực tế cô trò có thể biết luôn kết quả dựa trên số liệu thống kê nhưng với giáo viên ta có thể xây dựng thành một bài toán mới và với toán học không gì là không thể, vậy để giải quyết bài toán này học sinh có thể dựa vào tính chất của các phép toán tập hợp.
Gọi tập A là tập hợp số học sinh đạt học lực giỏi- khá, Tập B là tập hợp số học sinh hạnh kiểm tốt, và tập C là tập hợp số học sinh trong lớp 10B3 không đạt một trong các tiêu chí trên.
Ta có: n(A)=31, n(B)=33,
n ( A Ç B) = 30
Vậy ta có phương trình sau:
42 = n( A) + n(B) - n ( A Ç B) + n (C ) Û 42 = 31+ 33 - 30 + n(C) Û n(C) = 8
Lớp 10B3 có 8 học sinh không đạt được một trong các tiêu chí trên.
Ví dụ 7: Gọi A là tập hợp các học sinh của một lớp học có 53 học sinh, B và C lần lợt là tập các học sinh thích môn Toán, tập các học sinh thích môn Văn của lớp này. Biết rằng có 40 học sinh thích môn Toán và 30 học sinh thích môn Văn.
Hãy biểu diễn A,B,C dưới dạng biểu đồ. Tìm số phần tử lớn nhất và bé nhất có thể có của tập hợp B∩C.
Giả sử tập B∪C có 3 phần tử. Có bao nhiêu phần tử thuộc tập B∩C?
Giải: Gọi x là số học sinh thích cả hai môn Văn và Toán. Ta có biểu đồ như hình
dưới đây.
a; Số học sinh nhiều nhất thích cả hai môn là 30 em (lúc đó, tất cả 30 em thích môn Văn đều thích môn Toán). Do vậy, số phần tử lớn nhất có thể có của tập hợp B∩C là 30.
Gọi x là số học sinh vừa thích cả văn lẫn toán. Ta có: 40+(30−x)≤53 hay x≥17. Vậy số phần tử bé nhất có thể có của tập hợp B∩C là 17.
b; Ta có phép toán sau: A = (B È C ) \ (B Ç C ) È B È C
Trong đó: (B È C )
(B Ç C )
B ÈC
là tập số học sinh thích học Toán hoặc văn
là tập số học sinh vừa thích văn vừa thích toán
là tập các học sinh không thích cả môn Văn lẫn môn Toán.
mà B ÈC có 3 phần tử, do vậy ta có phương trình: 53=40+(30−x)+3 hay x=20. Vậy B∩C có 20 phần tử.
Ví dụ 8: Một lớp 50 học sinh dự trại hè được chơi hai môn thể thao: cầu lông và bóng bàn. Có 30 bạn đăng kí chơi cầu lông, 28 bạn đăng kí chơi bóng bàn
và 10 bạn không đăng kí chơi môn nào. Hỏi có bao nhiêu bạn:
Đăng kí chơi cả hai môn?
Chỉ đăng kí chơi một môn?
Giải: Kí hiệu X là tập hợp các học sinh trong lớp. A, B lần lượt là tập hợp các học sinh đăng kí chơi cầu lông và chơi bóng bàn. Như vậy tập hợp học sinh đăng kí chơi cả hai môn là A∩B. Tập hợp học sinh đăng kí ít nhất một môn là A∪B.
Rõ ràng n(A∪B)=50−10=40
Ta có n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=30+28−40=18. Vậy có 18 học sinh đăng kí chơi
cả hai môn
Số học sinh chỉ đăng kí chơi một môn là:	n(A∪B)−n(A∩B)=40−18=22
Vì phần giới hạn của đề tài nên tôi chỉ đưa ra một số ví dụ cơ bản mà trong toán học cũng như trong cuộc sống thường gặp giúp các em nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của phép toán tập hợp , từ đó các em sẽ tập trung hơn, chú ý hơn khi tiếp nhận bài giảng của giáo viên. Góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán.
THỰC NGHIỆM
Mục đích thực nghiệm:
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của biện pháp
Nội dung thực nghiệm:
Tiến hành dạy thử ở hai lớp 10A1 và 10A15 với hai đối tượng học sinh khác nhau.
Trao đổi với đồng nghiệp trong tổ vận dụng dạy và kiểm tra kết quả học tập.
Kết quả thực nghiệm
Học sinh có hứng thú hơn với bài học;
Năng lực tư duy của học sinh được cải thiện nhất là các học sinh khá, giỏi, kĩ năng trình bày vấn đề, lập luận toán học và phản biện của học sinh có tiến bộ rõ rệt;
Các em học sinh yếu có tiếp thu theo chuẩn kiến thức và kĩ năng, nhưng đã tự giác, tự chủ hơn trong các hoạt động học tập; năng lực ngôn ngữ toán học được rèn giũa nên tự tin hơn khi trình bày.
Kết luận:
Qua thực nghiệm, bước đầu nhận thấy việc vận dụng các phương pháp mới, giúp phát huy tính tích cực chủ động của học sinh, đồng thời qua đó, phát triển năng lực của học sinh theo định hướng chương trình giáo dục mới.
Với cách dạy truyền thống không chuyên sâu về kĩ năng tìm phép toán tập hơp trên trục số thì đa số học sinh nắm bắt hời hợt do đó tỉ lệ điểm trong một lần kiểm tra 15’ tôi thu được như sau :
Lớp
Sỉ số
Điểm <5 điểm
Điểm tb
Khá,
giỏi
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ
%
Số lượng
Tỉ lệ
%
Số lượng
Tỉ lệ
%
10A1
32
7
21,9%
9
28,1%
10
31,3%
6
18,7%
10A15
35
0
0%
8
22,9%
18
51,4%
9
25,7%
Và sau khi hướng dẫn học sinh kĩ năng sử dụng trục số để tìm phép toán tập hợp, trau dồi và ôn tập các dạng toán nhiều hơn thì kết quả kiểm tra 1 tiết đã thay đổi theo chiều hướng tích cực và đối với lớp khối C như lớp 10A1 thì không ai phân biệt được đây là lớp văn nữa. Cụ thể sau khi chấm tôi thu được kết quả như sau (nguồn lấy từ sổ điểm cá nhân, sổ gọi tên ghi điểm, sổ edu ).
Lớp
Sỉ số
Điểm <5 điểm
Điểm tb
Khá,
Giỏi
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
10A1
32
0
0%
6
18,8%
18
56,3%
8
25,0%
10A15
35
0
0%
5
14,3%
16
45,7%
14
40,0%
So với kết quả bài kiểm tra đầu tiên thì kết quả bài kiểm tra sau khả quan hơn rất nhiều, điều đó cho thấy rằng phương pháp tôi đưa ra đã thật sự có hiệu quả, quan trọng hơn là tôi đã tạo được tâm lý hứng thú học đối với chương học này. Bài tập toán không còn quá nặng nề với các em học sinh nữa, tâm lý thoải mái trong các buổi học khiến thầy và trò đều cảm nhận được tiết học trôi qua thật nhẹ nhàng.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học và trong khuôn khổ của biện pháp tôi đã cố gắng giới thiệu cho học sinh những kĩ năng cơ bản nhất mà bản thân đã tích lũy được. Khái niệm và phép toán tập hợp không còn khó và khô khan như các em nghĩ nữa mà nó chính là chìa khóa để các em tiếp nhận kiến thức toán học tiếp theo và không chỉ riêng mình toán đó là kĩ năng, là tư duy và là cuộc sống xung quanh ta, Và học sinh cũng nhận nhận thấy rằng sau khi thành thạo rồi các em sẽ thấy vấn đề không khó như mình nghĩ, bước đầu giải quyết tâm lý thoải mái, nhẹ nhàng cho học sinh lớp 10 khi mới bước chân vào ngôi trường cấp 3, tạo tiền đề cho những buổi học tiếp theo, những chương
học tiếp theo. Góp phần không nhỏ trong những thành công của các em. Với thời lượng của biện pháp chắc hẳn rằng không tránh được những thiếu sót rất mong sự góp ý của quý thầy cô.
3.2. Kiến nghị
-Giáo viên bộ môn toán phải thật sự quan tâm đến việc lĩnh hội và tiếp nhận kiến thức của học sinh, từ đó đưa ra phương pháp thích hợp để việc tiếp nhận kiến thức đó hiệu quả hơn.