Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học hình học bằng phương pháp vec tơ để phát triển tư duy cho học sinh trung học phổ thông

 minh được đẳng thức (*), từ đó việc giải 
được bài tập này không quá khó đối với HS. Qua các biện pháp trên GV có thể 
định hướng cho HS khi gặp bài hình học giải thấy khó nghĩ ngay đến chìa khóa 
vàng đó là giải toán bằng PP vectơ. Qua một số ví dụ trên ta thấy khi dạy học phát 
triển bài toán mới sẽ giúp HS linh hoạt và phát huy tư duy cho HS. 
Biện pháp 6: Vận dụng PP vectơ để giải các bài toán đại số 
Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ khi dạy học vectơ có thể định hướng HS giải 
các bài toán về đại số. Từ đó HS phát huy tích cực tư duy cho HS THPT. Biện 
pháp này giúp HS phát triển tư duy tốt cho HS. 
Ví dụ 1 : Cho a, b, c, d là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng: 
 (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2). Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy ra khi nào. 
Hướng dẫn: Ta có: . . . os ,u v u v c với ( ; ).u v và bởi os 1c . .u v u v . 
- Hãy xem xét (ac + bd)2, (a2 + b2), (c2 + d2) có liên quan gì đến các khái niệm 
của vectơ không? Đó là biểu thức tọa độ của tích vô hướng và độ dài của vectơ 
- Từ nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả đã nhận xét. 
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau: 
Lời giải: Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt ( ; ), ( ; ).u a b v c d 
Khi đó: 2 2 2 2,u a b v c d .Hơn nữa: . .u v ac bd u v ac bd . 
Từ đó, theo định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta có: 
2 2 2 2. . . .u v u v ac bd a b c d 
Bình phương 2 vế ta có: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2). Dấu bằng xảy ra khi 
u kv 
r r
 hay ad = bc. 
Nhận xét: Đây là một bất đẳng thức đại số khi giải HS không nghĩ đến việc có thể 
sử dụng phương pháp vectơ để giải, GV hướng dẫn HS giải bài tập này bằng PP 
vec tơ từ đó sẽ linh hoạt hơn khi giải toán từ đó sẽ phát huy được tư duy cho HS. 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 22 1 2 3 2 2 1 4x x x x (*) 
Nhận xét: Sau khi GV đã hướng dẫn HS giải bài tập trên, HS sẽ hiểu về việc vận 
dụng PP vectơ để giải toán đại số. Sau khi giải phương trình bằng PP đại số, GV 
yêu cầu HS suy nghĩ cách khác theo hướng sử dụng PP vectơ. Từ đó sẽ phát huy 
sự linh hoạt sáng tạo và phát huy tư duy cho HS. 
42 
Hướng dẫn: 
- Nếu xem xét vế trái của phương trình là biểu thức tọa độ của tích vô hướng của 
hai vectơ thì đó là các vectơ vó tọa độ như thế nào? 
- Vế phải có thể biểu diễn qua các vectơ đó không? 
Lời giải: Điều kiện xác định của phương trình 
1 3
;
2 2
D
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt (2 ;1), ( 1 2 ; 3 2 )u x v x x thì: 21 4 , 2u x v 
và . 2 1 2 3 2 .u v x x x Khi đó: (*) . . .u v u v 
Điều này xảy ra khi u kv 
r r
 với k > 0 
2 21 2 3 2 1 1 21 2 4 (3 2 ) (2 1)(4 4 1) 0 ;
2 1 2 2
x x
x x x x x x x x
x
Thay các giá trị 
1 1 2
;
2 2
x x
 vào phương trình ban đầu và kết hợp điều kiện, 
phương trình đã cho có nghiệm là: 
1 1 2
;
2 2
x x
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 24 6 9 4 6 9.y x x x x 
Lời giải: 
Ta có 
2 22 2
3 3 3 3 3 3
2 2
2 2 2 2
y x x
 Đặt 3 3 3 3 3 32 ; , 2 ; 3;3 3 .
2 2 2 2
a x b x a b
Dễ thấy .y a b Sử dụng bất đẳng thức a b a b .Ta có: 
2
23 3 3 6.y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: ;a b cùng hướng 
3 3 3
2
3 32 2 2 2 2 0
3 2 23 32
2 2
x
x x x
x
Như vậy: Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6 khi x=0 
Nhận xét: Việc sử dụng PP giải toán hình học để giải các bài toán đại số là một 
hướng mà khi dạy học GV cần định hướng cho các HS khá giỏi tìm tòi. Điều đó sẽ 
phát huy được tính sáng tạo cho HS và từ đó sẽ phát huy tư duy cho HS. Trong 
phạm vi đề tài này chúng tôi chỉ đưa ra một vài ví dụ về giải bài toán đại số bằng 
PP vectơ. Viêc phát triển tư duy thông qua PP vectơ còn có thể khai thác thông qua 
giải các bài toán đại số. 
43 
5.1.3. Một số kinh nghiệm của GV khi dạy học bằng phương pháp vectơ cho 
HSTHPT 
+ Để dạy học hình học bằng PP vectơ cho HS có hiệu quả, GV cần quan tâm đến 
việc xây dựng hệ thống bài tập. 
- Hệ thống bài tập về hình học giải bằng PP vectơ được xây dựng với mục đích rèn 
luyện kĩ năng giải toán cần thiết cho học sinh trung học phổ thông với những yêu 
cầu sau: Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa, khai thác và sử dụng hiệu 
quả hệ thống bài tập trong sách giáo khoa và cách bài tập. Bổ sung các kiến thức 
cơ bản cho HS. Hệ thống bài tập được chọn lọc, phân loại hợp lí, có tính phân hóa, 
phù hợp với nhiều loại đối tượng học sinh. Đối với từng đối tượng HS, GV cần có 
bài tập phù hợp năng lực. Đối với HS ôn thi tốt nghiệp THPT cần có các bài tập đủ 
các mức độ. Đối với HS ôn thi HS giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc Gia cần các bài tập 
với cấp độ vận dụng cao để tăng sáng tạo và tăng cường tư duy cho HS. Bài tập có 
tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức trong chương trình học. GV cần 
tổng quát hóa các bài tập và tạo cho HS biết tổng quát hóa và đặc biệt hóa khi học 
các bài toán giải bằng PP vectơ. Bài tập giúp học sinh nâng cao tính độc lập, chủ 
động, tích cực, sáng tạo trong học tập, gắn thực tiễn. Cần hướng dẫn HS giải toán 
hình học bằng nhiều PP: Tổng hợp, vectơ, kết hợp cả PP tổng hợp và PP vectơ 
+ Một trong các hoạt động cơ bản của học sinh học tập môn toán ở trường phổ 
thông là hoạt động giải toán. Hoạt động học và giải toán của học sinh thường diễn 
ra theo trình tự: quan sát, tiếp thu kiến thức, làm bài có sự hướng dẫn, tự làm theo 
mẫu, độc lập làm bài. Qua thực tế tình hình chất lượng học sinh tôi đã đưa ra một 
số phương pháp để dạy học sinh môn toán như sau: 
- Nắm chắc đối tượng học sinh. 
-Trên cơ sở điều tra phân loại ban đầu, giáo viên có cách nhìn nhận và thái độ phù 
hợp đối với từng học sinh: nhẹ nhàng khích lệ, động viên đối với học sinh có hoàn 
cảnh đặc biệt hoặc bị hổng kiến thức. GV cần bổ sung và cung cấp thêm các kiên 
thức cho HS trong quá trình học để lấp lỗ hổng kiến thức. 
- Luyện tập vừa sức đối với học sinh. 
Gia tăng số lượng bài tập cùng thể loại và mức độ. Để hiểu một kiến thức, rèn 
luyện một kỹ năng nào đó cho học sinh trung bình, yếu kém cần những bài tập 
cùng thể loại và cùng mức độ với số lượng nhiều hơn so với các em khá, giỏi, phần 
gia tăng này thực hiện trong những tiết học dạy tự chọn hay những tiết học phụ đạo 
học sinh trung bình, yếu. Đối với HS khá giỏi, GV cần ra các bài tập mức độ tăng 
dần cho các HS khá giỏi phát triển tư duy. Cần bổ sung bài tập khái quát hóa và 
tổng quát hóa các bài toán, yêu cầu HS tìm các quy trình giải toán. 
- Giúp đỡ học sinh học tập: Rèn luyện kỹ năng học tập thực sự cần thiết đối với học 
sinh. Vì vậy, một trong những biện pháp nâng cao kết quả học tập của HS là giúp đỡ 
các em về phương pháp học tập. Đối với học sinh cần hướng dẫn cho các em về 
cách thức học tập toán như: nắm được lý thuyết mới làm bài tập, đọc kỹ đề bài. 
44 
5.2. Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán giải bằng phương 
pháp vec tơ. 
Trong phần này đề tài nêu ra các sai lầm phổ biến khi HS giải các bài toán hình học 
bằng PP vectơ và giúp HS có định hướng cách giải tránh gặp sai lầm. Mỗi chuyên đề, 
mỗi bài tập HS đều có sự nhầm lẫn phổ biến. Đối với người GV cần phải tìm ra lỗi sai 
để nhắc HS không mắc sai lầm. 
Ví dụ: Khi dạy học dạng toán tính độ dài của vectơ, HS thường sai phổ biến đó là HS 
sử dụng độ dài của tổng hai vectơ là tổng độ dài của hai vectơ, độ dài của hiệu hai vec 
tơ là hiệu độ dài của hai vectơ. Khi đó dạy dạng toán này, GV cần HD cách giải: cần 
biến đổi tổng hay hiệu các vectơ cần tính độ dài về một vectơ sau đó mới tính độ dài 
vectơ. 
Ví dụ: Khi chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ HS mắc sai lầm: 
Với giả thiết: “M thuộc đường thẳng BC sao cho: BM mBC ” Học sinh thường chỉ 
xét đến trường hợp: BM mBC . Như thế xét sót trường hợp. GV cần hướng dẫn HS 
xét hai trường hợp: Nếu BC và BM cùng hướng thì: BM mBC và nếu BC và BM 
ngược hướng thì: BM mBC 
Ví dụ: Khi dạy về phép toán vectơ và biến đổi vectơ xét bài toán: 
“Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi C, D là hai điểm trên 
nửa đường tròn đó sao cho 2 dây cung AC và BD cắt nhau tại I. Chứng minh: 
. .AI AC AI AD .”, có học sinh đã làm như sau: . .AI AC AI AD AC AD (chia cả 
hai vế cho AI ) rồi suy ra đẳng thức không xảy ra. Điều đó chứng tỏ học sinh chưa 
hiểu rõ khái niệm về tích vô hướng của các vectơ. 
Ở bài tập này HS hay mắc sai lầm chia hai vế cho xem như vectơ là một số thực và 
chia như vậy nên đã hiểu sai về phép toán vectơ, GV cần cho HS hiểu đúng về 
phép toán vectơ, GV có thể hướng dẫn HS sau: 
6. Kiểm tra thực nghiệm đề tài 
6.1. Phương pháp kiểm tra thực nghiệm 
Sử dụng hình thức đề thi kiểm tra gồm các bài tập hình học chương III , lớp 11, 
làm bài trong 45 phút, thang điểm 10. Mỗi năm khảo sát 2 lớp học sinh khối 11, 
trong đó cụ thể là : 
- Lớp 11A2, 11B (Năm học 2018-2019) và các lớp 10A2, 10B1 (Năm học 2017-
2018) làm lớp đối chứng (ĐC): Lớp chưa tiến hành sử dụng kết quả trong SKKN. 
- Lớp 10D, 10B1 (Năm học 2020-2021) và lớp Lớp 11A, 11A2 (Năm học 2019-2020) 
làm lớp thực nghiệm (TN): Lớp được tiến hành sử dụng kết quả trong SKKN. 
6.2. Kết quả kiểm tra thực nghiệm 
. . . . 0 ( ) 0 . 0A I A M A I A B A I A M A I A B A I A M A B A I BM= Û - = Û - = Û =
uur uuuur uur uuur uur uuuur uur uuur uur uuuur uuur uur uuur
45 
Khảo sát học sinh lớp 11 và lớp 10 ở các năm học 2017 - 2018; 2018 – 2019 (lớp 
đối chứng : không sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này) qua bài kiểm tra 
chuyên đề. Khảo sát học sinh mức độ học tương đồng với các lớp đối chứng ở 02 
lớp 10, lớp 11năm học 2019 - 2020; 2020-2021 (lớp thực nghiệm: sử dụng các 
kinh nghiệm trong đề tài này) qua bài kiểm tra chuyên đề hình học giải bằng PP 
vectơ kết quả về điểm số như sau: 
 6.2.1. Kết quả kiểm tra của lớp đối chứng (Lớp chưa sử dụng các kinh nghiệm 
trong đề tài này). 
2.1. Năm học 2017 – 2018 
STT Lớp 
Sĩ 
số 
Đạt điểm 
loại giỏi 
Đạt điểm 
loại khá 
Đạt điểm trung 
bình 
Đạt điểm loại 
yếu 
Đạt điểm 
loại kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
1 10A2 37 2 5,4 4 10,8 10 27 11 29,7 10 27 
2 10B1 38 1 2,6 4 10,5 11 28,9 12 31,6 10 26,4 
b. Năm học 2018 - 2019. 
STT Lớp Sĩ số 
Đạt điểm 
loại giỏi 
Đạt điểm 
loại khá 
Đạt điểm trung 
bình 
Đạt điểm loại 
yếu 
Đạt điểm 
loại kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
1 11A2 37 2 5,4 4 10,8 12 32,4 9 24,3 10 27 
2 11B1 38 1 2,6 2 5,3 10 26,3 9 24,7 16 42,1 
6.2.2. Kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm (Lớp sử dụng kinh nghiệm đề tài 
này) 
a. Năm học 2019 - 2020. 
STT Lớp 
Sĩ 
số 
Đạt điểm 
loại giỏi 
Đạt điểm 
loại khá 
Đạt điểm 
trung bình 
Đạt điểm 
loại yếu 
Đạt điểm 
loại kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
1 11A 41 12 29,3 18 43,9 8 19,5 2 4,9 1 2,4 
2 11A2 42 11 26,2 20 47,6 8 19 2 4,8 1 2,4 
b. Năm học 2020 - 2021. 
STT Lớp Sĩ số 
Đạt điểm 
loại giỏi 
Đạt điểm 
loại khá 
Đạt điểm 
trung bình 
Đạt điểm 
loại yếu 
Đạt điểm 
loại kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
1 10B1 42 10 23,8 15 35,7 15 35,7 1 2,4 1 2,4 
2 10D 42 8 19 12 28,6 20 46,6 1 2,4 1 2,4 
46 
So sánh kết quả của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm ở cả 2 năm cho thấy: 
- Tỉ lệ điểm khá, giỏi: Lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. 
- Tỉ lệ điểm trung bình và yếu, kém: Lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp đối chứng. 
Như vậy ở lớp đối chứng số học sinh có điểm trung bình và yếu cao hơn, trong khi 
đó ở lớp thực nghiệm có điểm khá và giỏi cao hơn vượt trội. Kết quả này chứng tỏ 
sử dụng kết quả của SKKN có hiệu quả rất tốt, có tính ứng dụng rộng rãi và dễ áp 
dụng cho rất nhiều đối tượng học sinh. 
47 
Phần III. KẾT LUẬN 
1. Kết luận. 
Trong giai đoạn hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một nhiệm vụ 
hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực sự. Chúng 
tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh nên 
chúng tôi luôn cố gắng tìm ra giải pháp để giảng dạy có kết quả tốt. Đề tài cũng 
giúp ích cho công việc giảng dạy của chúng tôi, góp phần giúp học sinh hiểu kĩ 
hơn và vận dụng tốt hơn vào giải toán, nâng cao khả năng vận dụng các kiến 
thức thực tiễn và nâng cao chất lượng học trong bộ môn hình học đặc biệt bài 
toán giải bằng PP vectơ. Thông qua các tiết dạy, lý thuyết, luyện tập, sử dụng 
giải pháp của sáng kiến kinh nghiệm cho thấy: 
+ Học sinh nắm được các dạng toán trong chương và biết cách giải các dạng 
toán, từ đó kết quả học sinh được nâng lên. 
+ Tinh thần và thái độ học tập của học sinh tốt hơn. 
+ Học sinh đã chủ động sáng tạo khi học bộ môn hình học và khắc phục được 
một số sai lầm khi giải toán. Học sinh cảm thấy yêu thích học tập môn toán hơn và 
đặc biệt là bộ môn hình học. 
+ Khi dạy học sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này kết quả học tập của học 
sinh với mức độ học tương đồng có sự thay đổi rõ rệt. Số lượng điểm 9; 10 và 7; 8 
tăng đáng kể, tỉ lệ học sinh dưới điểm trung bình trở xuống giảm rõ rệt. Từ đó phát 
triển tư duy sáng tạo cho HS THPT. Bước đầu cho thấy tính khả thi của sáng kiến 
kinh nghiệm. 
Với nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, chúng tôi thấy sự khó khăn khi học 
sinh giải các bài toán bằng PP vectơ và sự khó khăn của giáo viên khi giảng dạy 
vectơ. Với sự trăn trở đó, chúng tôi đã nêu lên một số biện pháp để khắc phục khó 
khăn khi dạy bộ mộn hình học bằng phương pháp vectơ. 
2. Kiến nghị 
- Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập cần hiểu đối 
tượng học sinh, các định nghĩa, các tính chất, cách giải các dạng toán để có thể vận 
dụng có hiệu quả SKKN trong nhiều dạng bài tập liên quan khác. 
- SKKN đã được triển khai có hiệu quả ở một số lớp 10, 11 tại các trường 
THPT nơi chúng tôi công tác. SKKN cũng được chúng tôi chia sẻ chuyên môn với 
các đồng nghiệp tại một số trường THPT và thấy có kết quả tốt. Trong thời gian tới 
chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để SKKN có nhiều kết quả tốt hơn nữa cho HS và 
là tài liệu có ích cho GV. Mong rằng trong thời gian tới SKKN tiếp tục được áp 
dụng với nhiều trường, nhiều lớp, nhiều đối tượng học sinh hơn nữa, đồng thời 
kính mong các đồng nghiệp góp ý xây dựng để đề tài được hoàn thiện hơn. 
 Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo và bạn đọc ! 
48 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán, NXB 
Giáo dục, Hà Nội. 
2. Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng 
phát triển năng lực học sinh. 
3. Nguyễn Hữu Châu, Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy 
học, NXB Giáo dục, Hà Nội 2006. 
4. Nguyễn Bá Kim, Tôn Thân, Vương Dương Minh, Khuyến khích một số 
hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 1999. 
5. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều, Phát triển Lí luận dạy 
học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 1997. 
6. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên. 
7. Tài liệu tập huấn phương pháp và kĩ thuật tổ chức hướng dẫn học sinh tự học. 
8. Chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán lớp 10. 
9. Chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán lớp 11. 
10. Các bài tập trong các đề thi THPT của Bộ giáo dục và các đề thi thử các 
trường THPT và bài tập trong diễn đàn Giáo viên Toán. 
11. Nguồn tài liệu Internet. 
12. Bộ Giáo Dục, Chương trình tổng thể môn Toán, 2018.