Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường sử dụng dành cho học sinh lớp 7, 8, 9 và một số bài toán áp dụng

iác ABC vuông tại A. M là điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng AB, E là điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng AC. Chứng minh rằng D, A, E thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ta có M và D đối xứng với nhau qua đường thẳng AB => AB là đường trung trực của đoạn thẳng DM => êABC cân tại A.
Nên AB là đường phân giác của góc DAM 
Do đó : 
Chứng minh tương tự cũng có 
Mà 
Do đó 
Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Ví dụ 3 (lớp 9): Cho rABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC, gọi H là trực tâm rABC.
Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.
Hướng dẫn Giải
Gọi B’ là giao điểm của BH và AC; 
A’ là giao điểm của AH và BC
Tứ giác HA’CB’ nội tiếp
Þ 
 (t/c đối xứng trục)
Þ Tứ giác AHBE nội tiếp
Þ
Tương tự ta có: 
Þ 
= 
Þ Þ E, H, F thẳng hàng. 
 II. PHƯƠNG PHÁP 2
Phương pháp sử dụng tiên đề Ơ- clit về đường thẳng song song
Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
A
B
C
a
=> A, B, C thẳng hàng
	CB // a
	CA // a
Một số ví dụ:
Ví dụ 3: (lớp 7) Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
	Hướng dẫn giải
Xét AOD và COD có: 
	 OA = OC (vì O là trung điểm AC)
 	 (hai góc đối đỉnh)
 OD = OB (vì O là trung điểm BD)
	 Vậy AOD = COB (c.g.c)
	 Suy ra: . 
Do đó: AD // BC. Nên (ở vị trí đồng vị) DAB và CBM có : 
 AD = BC ( do AOD = COB), , AB = BM ( B là trung điểm AM)
 Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra . Do đó BD // CM. (1)
 Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
 Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Ví dụ 4(lớp 8)
Cho rABC nhọn, các đường cao AH, BD và CE. Gọi M, N, P, Q thứ tự là hình chiếu của H trên AB, BD, CE và AC. Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.
Hướng dẫn Giải
+ Từ (gt) Þ MH //CE; NH // AC Þ (định lý Talét)
 Þ MN // ED	 (1) (định ký Talét đảo)
+ Chứng minh tương tự ta có: PQ // ED (2)
+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông HAC và HAB ta có:
AH2 = AQ . AC = AM . AB
Þ mà 
(vì rDAB ∽ rEAC (g.g)) 
Þ hay 
(định lý Talét đảo)
Kết hợp với (1), (2) ta có 
M, N, Q thẳng hàng và M, Q, P thẳng hàng (tiên đề Ơclít).
Do đó M, N, P, Q thẳng hàng.
 III. PHƯƠNG PHÁP 3
Phương pháp sử dụng tiên đề về đường thẳng vuông góc 
Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước:
 AB ^ a
BC ^ a
=> A, B, C thẳng hàng
A
B
C
 a
b)Một số ví dụ:
Ví dụ 5: (lớp 7) Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC ( H BC). Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
E
K
C
H
B
A
D
 BÀI GIẢI
Có ADE = ABC 
(vì AE = AC, AD = AB, )
 DE // BC
 AHB = AKD (vì B= AD, BH= DK, )
 AK ^ BC
mà AH ^ BC suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng.
Ví dụ 6 (lớp 9): Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
Chứng minh AM BC.
Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. 
Gợi ý:.
 - Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC 
	- hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
Hướng dẫn giải.
a) Chứng minh AM BC.
	 Xét ΔABM và ΔACM có: 
 AB =AC (gt) 
 AM chung 
	 MB = MC (M là trung điểm BC)
	Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). 
Suy ra: (hai góc tương ứng)
	Mà (hai góc kề bù)
 nên 
 Do đó: AM BC (đpcm)
Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).
	 Suy ra: (hai góc tương ứng), mà nên = 900
	 Do đó: PM BC. 
 Lập luận tương tự QM BC 
 Từ điểm M trên BC có AM BC,PM BC, QM BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm)
 IV. PHƯƠNG PHÁP 4 
Phương pháp sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau
Nếu 2 tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng.
Một số ví dụ:
Ví dụ 7 (lớp 9)
Cho (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm D bất kỳ (khác A, B). Lấy điểm C bất kỳ trong đoạn AB, kẻ CH ^ AD . Phân giác của cắt (O) tại E, cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt (O) tại N. Chứng minh N, C, E thẳng hàng.
HD Giải
(gt) Þ HC // DB (cùng vuông góc với AD)
Þ (2 góc đồng vị)
Mà (2 góc nội tiếp chắn ) 
Þ 
Þ Tứ giác AFCN nội tiếp. 
Þ (2 góc nội tiếp chắn ) 
Hay mà (gt)
Þ mà 
 (2 góc nội tiếp chắn )
Þ mà NC và NE cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ DN
Þ 2 tia NC & NE trùng nhau Þ N, C, E thẳng hàng.
 V. PHƯƠNG PHÁP 5
Phương pháp sử dụng cùng thuộc một đối tượng: 
Một số phương pháp chứng minh thường sử dụng như:
Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng
A
B
C
M
N
=> A, B, C thẳng hàng
 A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN
C thuộc đường trung trực của MN
A
B
C
x
y
Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:
=> A, B, C thẳng hàng
BA là tia phân giác 
CA là tia phân giác 
Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.
B
M
C
G
A
 G là trọng tâm tam giác ABC
AM là trung tuyến tam giác ABC
=> A, B, C thẳng hàng
C
A
D
B
I
Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của chúng:
I là giao điểm 2 đường phân giác 
AD là phân giác của  
Þ A, I, D thẳng hàng.
B
C
H
D
A
Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó:
H là trực tâm D ABC AD là đường cao D ABC
	=> A, H, D ba điểm thẳng hàng
C
A
E
B
F
O
Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại:
	O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC
	EF là đường trung trực của cạnh AB
=> E, F,O thẳng hàng
Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
 Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ Là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
b) Một số ví dụ:
Ví dụ 8: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
BÀI GIẢI
 ABC cân tại A suy ra AB = AC
D



C
E
B
A
Þ A thuộc đường trung trực của BC (1)
 DBC cân tại D suy ra DB = DC
 Þ D thuộc đường trung trực của BC (2)
EBC cân tại E suy ra EB = EC
Þ E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
BÀI GIẢI
A
B
I
C
K
y
x
-Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại A
 nên K cách đều hai cạnh Ax và AC (1)
-Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại C 
nên K cách đều hai cạnh Cy và AC (2)
C
Từ (1) và (2) suy ra K cách đều 2 cạnh Ax và Cy
Hay K cách đều hai cạnh BA và BC
Þ KB là tia phân giác 
vì I là giao điểm của hai tia phân giác , nên:
BI là tia phân giác (gt) => Ba điểm B, I, K thẳng hàng
Ví dụ 10 . Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN.	Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
BÀI GIẢI
Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC)
 và vuông tại E và F có:
 BM = CN (gt), ( cùng bằng )
 Do đó: = (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra: ME = NF.
	Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), ( so le trong của ME // FN) . Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). 
Do đó: MK’ = NK’ .
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
	Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Cách 2. Kẻ ME // AC (E BC) (hai góc đồng vị)
	 Mà nên . Vậy ΔMBE cân ở M.
 Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được ME = CN.
 Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
	 ΔMEK’ và ΔNCK’ có: 
 (so le trong của ME //AC)
	 ME = CN (chứng minh trên)
	 (so le trong của ME //AC)
	 Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’. 
 Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
 Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý nhưng không biết là sai.
VI. PHƯƠNG PHÁP 6
Phương pháp thêm điểm:
Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A, B, C sau đó chứng minh hai trong ba bộ 3 điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng.
Một số ví dụ
Ví dụ 11 (lớp 8)
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo. Điểm M trên đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H là hình chiếu của điểm E trên BC, vẽ hình chữ nhật EHCF. Chứng minh M, H, F thẳng hàng.
Giải
Gọi I là giao điểm của HF và CE 
Þ H; I; F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật) 
Cần chứng minh: M, I, F thẳng hàng.
 và 
(t/c hình chữ nhật)
Þ OM là đường trung bình của rACE
Þ OM // CE Þ (2 góc đồng vị)
Mà (vì rOCD cân tại O, rICF cân tại I, t/c hình chữ nhật)
Þ mà IM //AC (do IM là đường trung bình rACE)
Þ M, I, F thẳng hàng (tiên đề Ơclít)
Kết hợp với (*) ta có: M, H, F thẳng hàng.
Ví dụ 12 (lớp 9)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn (O). Gọi E là giao điểm của AB và CD. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại M. Chứng minh rằng E, M, F thẳng hàng.
Giải
Gọi K là giao điểm của đường tròn (B, D, E) và đường tròn (F, D, C), (K không trùng D). Ta chứng minh K, E, M thẳng hàng và K, F, M thẳng hàng.
Tứ giác BKDE và DKFC nội tiếp (suy từ gt)
Þ (*)
Mặt khác: + (sđ- sđ)+(sđ+sđ)
Þ (sđsđ) = 
Þ kết hợp với (*) ta có: 
Þ Tứ giác BKCM nội tiếp Þ (2 góc nội tiếp chắn )
Mà (cùng bằng sđ) và (2 góc nội tiếp chắn )
Þ Þ 2 tia KE và KM trùng nhau Þ K, E, M thẳng hàng 	(1)
Tương tự ta có: Þ 2 tia KF và KM trùng nhau.
Þ K, F, M thẳng hàng. Kết hợp với (1) ta có E, M, F thẳng hàng.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG SƯU TẦM
Bài 1:
Chứng minh trực tâm của một tam giác luôn nằm trên đường thẳng nối hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một đỉnh đến đường tròn đường kính là cạnh nối hai đỉnh còn lại của tam giác đó. (Chinese 1996)
Giải
Xét DABC có các đường cao AF, BD, CE 
cắt nhau tại H , kẻ AM và AN là hai tiếp tuyến 
của đường tròn (O) đường kính BC
(M, N là các tiếp điểm) 
Þ M,A,N,F,O thuộc đường tròn đường kính AO
Þ(*)
ÞDADH ~ DAFC, DAND ~ DANC 
ÞAH.AF = AD.AC = AN2
Þ Þ DANH ~DAFN (c-g-c) 
Þ 
Kết hợp với (*) ta có: Þ HÎ MN 
+ Nếu D ABC vuông tại B hoặc C thì HºM hoặc HºN ta có điều phải chứng minh.
* Việc chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng nói trên cũng đã được đề cập đến trong nội dung câu 4.b đề thi HSG cấp tỉnh năm 2012 – 2013 của tỉnh Vĩnh Phúc.
Bài 2:
Từ một điểm D nằm ngoài đường tròn (O) đường kính BC, kẻ hai tiếp tuyến DE và DF với (O) (E, F là tiếp điểm). Trên đường thẳng EF lấy điểm A ở phía ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AN với (O) ( N là tiếp điểm) . 
Chứng minh D, N, H thẳng hàng (H là trực tâm DABC)
Giải
Kẻ tiếp tuyến AM ( M Î (O))
Gọi giao điểm của AO và MN là I 
Þ AN2 = AE.AF
Mà AN2 = AI.AO ( Hệ thức trong tam giác vuông)
Þ AE.AF = AI.AO Þ 
Þ DAIE ~ DAFO ( cgc)
Þ Tứ giác EIOF nội tiếp 
Þ D,E,I,O,F thuộc đường tròn đường kính OD.
Þ Þ D,M,N,I, thẳng hàng.
Mặt khác M,H,N thẳng hàng (Kết quả bài tập 1) Þ D,N,H thẳng hàng.
Bài 3: (đường thẳng Sim sơn)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm tuỳ ý thuộc đường tròn (O). Gọi A1, B1 C1 thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB.Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng.
Giải
Không mất tính tổng quát giả sử MÎ .
Ta có (Suy từ giả thiết)
ÞMA1C1B nội tiếp Þ 
(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung 
 (suy từ giả thiết) 
ÞMA1CB1 nội tiếp Þ 
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung B1C)
Mặt khác 
Þ Þ
Kết hợp với chứng minh trên
 Þ => 
Þ A1, B1, C1 thẳng hàng
* Đường thẳng chứa ba điểm A1, B1, C1 gọi là đường thẳng Simsơn của tam giác ABC ứng với điểm M.
* Nếu M trùng với đỉnh của tam giác ABC thì đường thẳng Simsơn chính là đường cao tương ứng.
Bài 4
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với H là trực tâm , M là điểm tuỳ ý thuộc (O).
Chứng minh đường thẳng Sim sơn ứng với điểm M luôn đi qua trung điểm của MH.
Giải
Đường thẳng Sim son của tam giác ABC ứng với điểm M là đường thẳng qua A1, B1, C1 
Lấy điểm B2, C2 đối xứng với M qua AC, AB. 
Ta có (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Mà ( Tính chất đối xứng trục)
Và (Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Þ Þ Tứ giác AC2BH nội tiếp
Þ ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC2)
Tương tự ta có: Þ
Þ C2; H; B2 thẳng hàng Þ B1C1 là đường trung bình của tam giác MB2C2
Þ B1C1 đi qua trung điểm của MH.
Trên đây là những định hướng nhằm giúp cho học sinh làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Đồng thời qua đó giới thiệu một số cách chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 6,7,8 và một số bài toán tham khảo dành cho học sinh giỏi. Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh những lập luận sai hoặc lập luận quanh co dẫn đến những sai lầm đáng tiếc.
3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
 Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau thời gian giảng dạy và học hỏi nghiên cứu, bản thân thấy dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một trong những kiến thức quan trọng đối với tất cả học sinh nói chung, nhất là đối với học sinh giỏi nói riêng . Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững các vấn đề vể lý thuyết cơ bản hình học từ lớp 6 dần dần dẫn dắt phát triển hình thành các kỹ năng chứng minh các bài toán hình học lên các lớp trên
 3.4. Hiệu quả lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp:
 Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Cần rèn luyện nhiều về cách lập luận và trình bày của học sinh nhất là từ học sinh lớp 6 ,7 vì đây là học sinh đầu cấp.Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ được.Từ đó học sinh có thể tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến vấn đè chứng minh ba điểm thẳng hàng và xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu. Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này.
 Với việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực , phát huy tính độc lập của học sinh nhất là bồi dưỡng học sinh giỏi không thể trong chốc lát mà là cả một quá trình , lâu dài từng bước từ thấp đến cao . Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn học sinh biết cách giải toán , học toán và vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như vào thực tế.
 Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy. Rất mong nhận được sự góp ý bổ sung chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục .
3.5. Tài liệu kèm theo gồm: không.