Sáng kiến kinh nghiệm Các hướng khai thác từ một bài toán bất đẳng thức đơn giản

 1 
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH 
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ HỒNG SƠN 
ĐỀ CƯƠNG 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
Tên đề tài: 
CÁC HƯỚNG KHAI THÁC 
TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN 
 Lĩnh vực: Môn Toán 
Tên tác giả : Trịnh Thị Thuý 
 Năm học : 2021 - 2022 
 2 
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 
- Bất đẳng thức là một chuyên đề khó của Toán học 
- Bất đẳng thức thường là bài toán hay trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. Và 
trong kì thi tuyển sinh vào THPT của các Tỉnh – Thành trong cả nước. 
- Bất đẳng thức góp phần lớn trong việc hình thành những kĩ năng tư duy, sáng 
tạo, kĩ năng phân tích tổng hợpcho học sinh. 
Xuất phát từ tình hình thực tế nêu trên và qua các năm giảng dạy môn toán THCS 
cũng như tham khảo và tích luỹ qua các tài liệu, sách, báo, bản thân tôi đã tìm tòi 
và sáng tạo được một số bài toán bất đẳng thức đại số và các bất đẳng thức hình học 
từ một bài toán bất đẳng thức đại số có thể nói là đã khá quen thuộc và đơn giản! Đó 
là lý do để bản thân tôi viết sáng kiến kinh nghiệm năm học 2021 - 2022 với đề tài: 
“Các hướng khai thác từ một bài toán bất đẳng thức đơn giản” này. 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 
 Cuốn Sáng kiến kinh nghiệm này sau khi hoàn thành theo tôi nghĩ sẽ phần nào 
giúp một số giáo viên cũng như các em học sinh thay đổi cách nhìn, cách nghĩ về một 
bài toán bất đẳng thức đơn giản và quen thuộc. Đồng thời bên cạnh đó cung cấp cho 
các bạn đồng nghiệp thêm một vài kinh nghiệm để tích lũy cho bản thân mình có 
thêm các hướng để khai thác một bài toán, đặc biệt là hình thành nên các bài toán có 
đặc tính Hình học từ các bài toán có tính chất đại số. 
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: 
1. Tìm hiểu và chứng minh một bài toán bất đẳng thức đơn giản, quen thuộc đã biết. 
2. Tìm hiểu các hướng để có thể khai thác bài toán bằng cách khái quát hóa bất đẳng 
thức này để hình thành các bài toán khác phức tạp hơn và thú vị hơn. 
3. Tích lũy từ các cuốn SGK, SBT, các tài liệu tham khảo sách, báo tìm tòi các bài 
toán hay và từ đó dựa trên một bài toán bất đẳng thức đơn giản biến đổi chúng thành 
các bài toán khác mới lạ và hấp dẫn hơn. 
4. Khai thác các phép suy luận logic, các phép biến đổi tương đương để hình thành ra 
các bài toán mới khác. 
5. Đưa ra một số bài toán để áp dụng vào giảng dạy chủ yếu là ôn luyện thi, bồi 
dưỡng cho các em học sinh khá giỏi trong đó có đưa ra phương pháp đặt các câu hỏi 
hướng dẫn, gợi mở để các em học sinh dễ dàng giải các bài đưa ra và tìm hiểu lên các 
bài khác khó hơn! 
IV. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: 
1. Phạm vi: 
 3 
 Nội dung kiến thức của Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu nằm trong nội dung 
chương trình môn toán THCS và chủ yếu liên quan đến nội dung chương trình môn 
toán đại số và hình học các lớp 8 và 9. 
2. Đối tượng nghiên cứu: 
 Đối tượng nghiên cứu bao gồm các tính chất, quy tắc, định lý, các phương pháp tư 
duy suy luận lôgic, các phép biến đổi tương đương trong chương trình môn toán 
THCS áp dụng vào khai thác, khái quát hóa một bài toán bất đẳng thức đại số. 
3. Mức độ nghiên cứu: 
 Mứu độ nghiên cứu của SKKN cũng chỉ dừng lại ở một số phương pháp biến đổi, 
suy luận có liên quan đến nội dung kiến thức trong chương trình môn toán THCS và 
các bài toán đề tài đưa ra cũng ở mức độ vừa phải không quá khó. 
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 
Chủ yếu là các phương pháp nghiên cứu lý luận kết hợp với phương pháp thực 
nghiệm sư phạm. 
PHẦN II. NỘI DUNG 
 CHƯƠNG I. 
CƠ SỞ LÝ LUẬN 
I. Các định hướng cơ bản từ chỉ đạo của nghành có liên quan đến SKKN nghiên 
cứu. 
II. Các nội dung kiến thức, kỹ năng trong chương trình môn toán THCS có liên 
quan đến nội dung đề tài: 
CHƯƠNG II 
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
I. BÀI TOÁN CƠ BẢN: 
Sau đây chúng ta sẽ cùng nhau xem lại một bài toán bất đẳng thức khá đơn giản mà 
quen thuộc đối với các em học sinh khối lớp 8 và 9. 
Bài toán 1: 
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh bài toán đơn giản này: 
II. CHỨNG MINH: 
Cho hai số không âm ,a b thỏa mãn : 1a b . 
Chứng minh rằng: 2a b (1) 
 4 
Chú ý tới một tính chất lũy thừa bậc hai là với x, y không âm thì 2 2x y x y thì ta 
có thể chứng minh bài toán trên như sau: 
Cách 1: Ta có: 
2 2
2
2 2
2 2 1 2 2
2 1 2
0 2
0
a b a b
a b ab ab
ab ab a b
a ab b
a b
Ta thấy BĐT này đúng với mọi ,a b không âm nên BĐT (1) đã cho đúng. 
Dấu ‘=’ xảy ra khi: 
1
2
a b . 
Tuy nhiên đối với các em học sinh khác thành thạo về BĐT Bunhiacôpxki, có thể áp 
dụng để chứng minh một cách ngắn gọn hơn như sau: 
Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 
2 2
2 21. 1. 1 1 2.1 2
2
a b a b a b
a b
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
1
1
2
1 1
a b
a ba b
 Cách 3: 
Ngoài hai cách giải trên, đối với các em học sinh lớp 9 thì chắc các em đã biết BĐT 
quen thuộc sau: 
Cho hai số không âm ,a b .Chứng minh rằng: 
2 2
a b a b 
 . (2) 
Hay còn phát biểu là: Chứng minh rằng trung bình cộng của căn bậc hai số học của 
hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai số học của trung bình cộng của hai 
số ấy.( Trích nâng cao và phát triển Toán 9 – Vũ Hữu Bình ) 
Việc chứng minh được BĐT này ta cũng sẽ có thêm một cách thứ ba để chứng minh 
bài toán nêu ra ở trên. 
Thật vậy ta có: 
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
4 2
0 2 0
a b a b a b a b
a b ab a b
a b ab a b
a ab b a b
(Đúng với mọi ,a b không âm) 
 5 
Vậy BĐT (2) trên đúng. 
Do đó chỉ việc thay 1a b như giả thiết ta có: 
1 2
2
2 2 2 2
a b a b
a b
 Việc chứng minh bài toán trên xong chưa phải là kết thúc giải một bài tập 
toán.Vấn đề bây giờ đặt ra là ta còn có thể khai thác bài toán trên để được một loạt 
các bài toán khác hay hơn, thú vị hơn hay không? Ta khai thác như thế nào? 
Thật vậy sử dụng phương pháp khái quát hóa bài toán chúng ta có thể phát triển bài 
toán trên theo các hướng khác nhau như sau: 
II. HƯỚNG GỢI MỞ THỨ NHẤT: 
Từ hướng gợi mở thứ nhất ta có bài toán mới: 
III. HƯỚNG GỢI MỞ THỨ HAI: 
Phân tích tiếp : 
Bây giờ ta có thể khái quát hóa theo các hướng khác như sau: 
IV. HƯỚNG GỢI MỞ THỨ BA: 
V. HƯỚNG GỢI MỞ THỨ TƯ: 
VI. HƯỚNG GỢI MỞ THỨ NĂM: 
VII. HƯỚNG GỢI MỞ THỨ SÁU: 
1- Sử dụng tính chất tam giác vuông: 
2- Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác: 
3- Sử dụng tính chất đường cao của tam giác: 
4- Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác: 
5- Sử dụng một số bài toán khác: 
CHƯƠNG IV: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
I.KẾ HOẠCH THỰC HIỆN: Thực hiện kế hoạch dạy học 2 tiết: 
Tiết 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 
Tiết 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 
 6 
II. KẾT QUẢ THỰC HIỆN 
 Phần "Thực nghiệm sư phạm" nêu trên bản thân tôi đã đưa vào dạy hai tiết 
đưa vào nội dung bồi dưỡng Học sinh giỏi khối 9 hàng năm. 
Tiết 1: Một số bài toán Bất đẳng thức đại số. 
Tiết 2: Một số bài toán Bất đẳng thức hình học 
Trên cơ sở trình bày gói gọn trong 2 tiết dạy và bản thân tôi cũng đã đưa vào dạy 
“Chủ đề tự chọn nâng cao toán 9” tuần 25 và tuần 26 trên lớp 9A, kết quả là các em 
học sinh đã hiểu nhanh và áp dụng làm được một số bài toán liên quan SGK, SBT và 
một số quyển sách tham khảo khác. 
Kết quả này cũng là một thành tích không nhỏ đóng góp chung vào thành công của 
Đoàn học sinh thi học sinh giỏi các cấp và kết quả điểm thi vào THPT của học sinh 
PHẦN IV. KẾT LUẬN 
-Bài toán 1 để viết nên cuốn SKKN năm học 2010- 2011 này với tên gọi “Sự kỳ diệu 
ẩn sau một bài toán bất đẳng thức đơn giản” này. Tuy nhiên bản thân tôi thấy về 
nội dung vẫn còn có những hạn chế như: các hướng khai thác bài toán chưa nhiều và 
đa dạng, các bài toán mà bản thân tôi tìm tòi sáng tạo đưa ra còn mang tính khuôn 
mẫu, và chưa phong phú, chưa trình bày được một số lời giải cho một vài bài toán 
nào đó, chưa đưa ra chứng minh tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Vấn đề 
này bản thân tôi sẽ khắc phục và học hỏi, tích luỹ thêm để trình bày trong các Đề tài, 
các Sáng kiến kinh nghiệm sau được hoàn chỉnh hơn. 
 Phần "Thực nghiệm sư phạm" ở trên bản thân tôi đã trình bày dưới dạng hai 
tiết học Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9 và học Chủ đề tự chọn nâng cao toán 9 và kết 
quả là các em học sinh đã hiểu nhanh và áp dụng làm được một số bài tập tương tự. 
 Tôi nghĩ rằng với SKKN này của bản thân tôi, các bạn đồng nghiệp đã có thể 
tham khảo và tích lũy thêm cho bản thân mình các bài toán bổ sung vào đề cương ôn 
luyện thi và bồi dưỡng thêm cho các em học sinh thi HSG các cấp cũng như thi vào 
THPT. 
 Vì khuôn khổ của cuốn SKKN có hạn nên các bài toán còn lại bản thân tôi sẽ tiếp 
tục bổ sung và đưa vào các tiết dạy trong phần “Thực nghiệp sư phạm” thêm các 
bài toán khác để nhanh chóng đưa vào nội dung dạy và học môn toán của nhà trường. 
 Mặc dầu đã tham khảo tìm tòi nghiên cứu tổng hợp từ các tài liệu sách báo để 
hình thành cuốn SKKN này nhưng chắc chắn nội dung và hình thức không thể tránh 
khỏi thiếu sót nên rất mong nhận được sự quan tâm, xem xét góp ý của các bậc đồng 
nghiệp để bổ sung hoàn chỉnh cho cuốn đề tài này trở nên hoàn chỉnh và hay hơn! 
PHẦN V. TÀI LIỆU THAM KHẢO