Sáng kiến kinh nghiệm Các dạng cơ bản và phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8

A. Më ®Çu
I. Lý do chän ®Ò tµi
Sau khi trùc tiÕp gi¶ng d¹y To¸n líp 8 víi ch­¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa míi trong 2 n¨m, qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ kÕt qu¶ c¸c bµi kiÓm tra ë ch­¬ng IV §¹i sè 8 t«i nhËn thÊy häc sinh th­êng lóng tóng hoÆc kh«ng ®ñ kiÕn thøc ®Ó gi¶i thµnh th¹o c¸c ph­¬ng tr×nh chøa ®Ê gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Khi häc sinh kh«ng n¾m v÷ng kiÕn thøc vÒ trÞ tuyÖt ®èi còng nh­ c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi c¬ b¶n th× viÖc kh«ng biÕt gi¶i hoÆc m¾c sai lÇm lµ ®iÒu khã tr¸nh khái. Mµ kiÕn thøc vÒ trÞ tuyÖt ®èi vµ c¸c bµi tËp liªn quan rÊt quan träng trong ch­¬ng tr×nh, ®Æc biÖt lµ ch­¬ng tr×nh to¸n líp 9 vµ to¸n cÊp 3 sau nµy. 
V× sao häc sinh th­êng kh«ng n¾m v÷ng c¸c b­íc gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi?
Bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lµ bµi to¸n khã v× nã chøa ®ùng nhiÒu kiÕn thøc nh­ tÝnh chÊt cña thø tù vµ c¸c phÐp to¸n céng, nh©n, kiÕn thøc vÒ trÞ tuyÖt ®èi, kiÕn thøc vÒ gi¶i ph­¬ng tr×nh, gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh...Khi gÆp d¹ng to¸n nµo cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi häc sinh th­êng ng¹i khã v× vËy Ýt l­u t©m khi ph¶i tiÕp thu kiÕn thøc.
VËy lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh dÔ n¾m ®­îc c¸c kiÕn thøc, n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p, c¸c b­íc gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Trong 2 n¨m qua, tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y, trao ®æi víi ®ång nghiÖp vµ c¸c tµi liÖu t«i rót ra ®­îc hÖ thèng c¸c d¹ng ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi c¬ b¶n th­êng gÆp vµ c¸c b­íc gi¶i tõng d¹ng sau ®©y. Víi hÖ thèng kiÕn thøc nµy häc sinh sÏ dÔ tiÕp thu vµ gi¶i thµnh th¹o c¸c ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi c¬ b¶n trong ch­¬ng tr×nh to¸n 8. 	
 II. §èi t­îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu
 1. §èi t­îng nghiªn cøu:
 Lµ häc sinh líp 8.
2. Ph¹m vi nghiªn cøu:
 Häc sinh líp 8A,B Tr­êng THCS ... n¨m häc 2016-2017.
 III. Tµi liÖu tham kh¶o
-S¸ch gi¸o khoa To¸n 8 
-S¸ch bµi tËp To¸n 8 - TËp 2
-S¸ch gi¸o viªn To¸n 8
-ThiÕt kÕ bµi so¹n To¸n 8
-§Ó häc tèt To¸n 8 (Nhµ xuÊt b¶n DG)
-§Ó häc tèt To¸n 8 (Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc quèc gia Hµ Néi)
-Tµi liÖu båi d­ìng To¸n 8
-Chuyªn ®Ò n©ng cao To¸n 8.
B.néi dung
C¸c d¹ng c¬ b¶n vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i
ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ë líp 8
Víi sè a ta cã: 
2. Các tính chất
2.1. Tính chất 1:	 0 a
2.2. Tính chất 2: = 0 a = 0
2.3. Tính chất 3: - a 
2.4. Tính chất 4: = 
 Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối ta dễ thấy được các tính chất trên
2.5. Tính chất 5: 
Thật vậy: 
- a ; - a -( +) a + b +
2.6. Tính chất 6:
 - 
Thật vậy: = 	(1)
 	 (2)
Từ (1) và (2) đpcm.
2.7. Tính chất 7:
Thật vậy: 	(1)
 	 	(2)
 	(3)
Từ (1), (2) và (3) 	(4)
 	(5)
Từ (4) và (5) đpcm.
2.8. Tính chất 8:
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0 
	(1)
a > 0 và b > 0 = a, = b và a.b > 0
	(2)
a 0
	(3)
a > 0 và b < 0 = a, = -b và a.b < 0
	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
2.9. Tính chất 9:
Thật vậy: a = 0 	(1)
 a > 0 và b > 0 = a, = b và 	(2)
 a < 0 và b < 0 = -a, = -b và 	(3)
 a > 0 và b < 0 = a, = -b và 	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
XuÊt ph¸t tõ kiÕn thøc trªn ng­êi ta ph¸t triÓn thµnh yªu cÇu gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.Trong ph¹m vi kiÕn thøc líp 8 chóng ta cÇn h­íng dÉn cho häc sinh quan t©m tíi 3 d¹ng ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, bao gåm:
D¹ng 1: Ph­¬ng tr×nh: , víi k lµ h»ng sè kh«ng ©m.
D¹ng 2: Ph­¬ng tr×nh: 
D¹ng 3: Ph­¬ng tr×nh: .
§Ó häc sinh tiÕp cËn vµ n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶ ta cÇn h­íng dÉn häc sinh theo thø tù cô thÓ nh­ sau:
Bµi to¸n 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: , víi k lµ h»ng sè kh«ng ©m.
Ph­¬ng ph¸p gi¶i:
B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó f(x) x¸c ®Þnh (nÕu cÇn).
B­íc 2: Khi ®ã nghiÖm x.
B­íc 3: KiÓm tra ®iÒu kiÖn, tõ ®ã ®­a ra kÕt luËn nghiÖm cho ph­¬ng tr×nh.
VÝ dô1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a, b, - 2 = 0
a, ta cã 
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2.
b, §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh lµ x 0.
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = vµ x = 1.
Bµi to¸n 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i:
B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó f(x) vµ g(x) x¸c ®Þnh (nÕu cÇn).
B­íc 2: Khi ®ã nghiÖm x.
B­íc 3: KiÓm tra ®iÒu kiÖn, tõ ®ã ®­a ra kÕt luËn nghiÖm cho ph­¬ng tr×nh.
VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a, b, . c, 
 Gi¶i:
a, BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ph­¬ng tr×nh:
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = -6 vµ x = 0.
b, §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh lµ x 0.
BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ph­¬ng tr×nh:
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1
VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: = , víi m lµ tham sè.
Gi¶i :
BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ph­¬ng tr×nh:
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 3m + 6 vµ x = m - 2
Bµi to¸n 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i:
Ta cã thÓ lùa chän mét trong hia c¸ch gi¶i sau:
C¸ch 1: (Ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi) Thùc hiÖn c¸c b­íc:
B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó f(x) vµ g(x) x¸c ®Þnh (nÕu cÇn).
B­íc 2: XÐt hai tr­êng hîp:
-Tr­êng hîp 1: NÕu f(x) 0 (1)
Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: f(x) = g(x) => nghiÖm x vµ kiÓm tra ®iÒu kiÖn (1)
-Tr­êng hîp 2: NÕu f(x) < 0 (2)
Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: -f(x) = g(x) => nghiÖm x vµ kiÓm tra ®iÒu kiÖn (2)
B­íc 3: KiÓm tra ®iÒu kiÖn, tõ ®ã ®­a ra kÕt luËn nghiÖm cho ph­¬ng tr×nh.
C¸ch 2: Thùc hiÖn c¸c b­íc:
B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó f(x) vµ g(x) x¸c ®Þnh (nÕu cÇn) vµ g(x) 0.
B­íc 2: Khi ®ã: NghiÖm x
B­íc 3: KiÓm tra ®iÒu kiÖn, tõ ®ã ®­a ra kÕt luËn nghiÖm cho ph­¬ng tr×nh.
 VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: .
C¸ch 1: XÐt hai tr­êng hîp:
-Tr­êng hîp 1: NÕu x + 4 0 x -4 (1)
Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: x + 4 + 3x = 5 4x = 1 x = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1)
-Tr­êng hîp 2: NÕu x + 4 < 0 x < - 4 (2)
Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: -x - 4 + 3x = 5 2x = 9 x = kh«ng tho¶ m·n tra 
®iÒu kiÖn (2).
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = .
C¸ch 2: ViÕt l¹i ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng 
Víi ®iÒu kiÖn - 3x + 5 0 - 3x - 5 x 
 Khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®­îc biÕn ®æi:
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = .
L­u ý1:
Qua vÝ dô trªn c¸c em häc sinh sÏ thÊy r»ng c¶ hai c¸ch gi¶i ®Òu cã ®é phøc t¹p nh­ nhau. VËy trong tr­êng hîp nµo c¸ch 1 sÏ hiÖu qu¶ h¬n c¸ch 2 vµ ng­îc l¹i?
Khi vÕ ph¶i lµ mét biÓu thøc kh«ng lµ ®a thøc cã b©c 1 ta nªn sö dông c¸ch 1 v× khi sö dông c¸ch 2 th× viÖc t×m x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g(x) kh«ng ©m phøc t¹p h¬n.
Khi biÓu thøc trong trÞ tuyÖt ®èi ë d¹ng phøc t¹p th× kh«ng nªn sö dung c¸ch 1 v× sÏ gÆp khã kh¨n trong viÖc ®i gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh f(x) 0 vµ f(x) < 0.
Tuy nhiªn häc sinh cã thÓ kh¾c phôc b»ng c¸ch kh«ng di gi¶i ®iÒu kiÖn mµ cø thùc hiÖn c¸c b­íc biÕn ®æi ph­¬nmg tr×nh sau ®ã thö l¹i ®iÒu kiÖn mµ kh«ng ®èi chiÕu.
VÝ dô 5: Gi¶i c¸c bÊt ph­¬ng tr×nh:
a, b, 
	Gi¶i:
a, XÐt hai tr­êng hîp.
 -Tr­êng hîp 1:
 NÕu x + 1 0 x -1 (1)
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: x + 1 = x2 + x x2 = 1 x = 1 (tho¶ m·n ®k 1)
 -Tr­êng hîp 2:
 NÕu x + 1 < 0 x < -1 (2)
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: - x - 1 = x2 + x x2 + 2x + 1 = 0 (x+1)2 = 0 
 x = -1 ( kh«ng tho¶ m·n ®k 2).
VËy ph­¬ng tr×nh cãb hai nghiÖm x = 1
b, ViÕt l¹i ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng:
 víi ®iÒu kiÖn 2x - 4 0 2x 4 x 2 (*)
Ta cã: 
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2.
L­u ý 2: - §èi víi mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh ®Æc biÖt kh¸c ta còng sÏ cã nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c phï hîp ch¼ng h¹n nh­ ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô, sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si.
VÝ dô 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
ViÕt l¹i ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng 
 (1)
§Æt = t ( t 0)
Khi ®ã tõ (1) ta cã ph­¬ng tr×nh 
t2 - 2t - 3 = 0 t2 + t - 3t - 3 = 0 t(t + 1) - 3(t + 1) = 0 (t + 1)(t - 3) = 0
 t = - 1 (lo¹i) vµ t = 3 (t/m)
Víi t = 3 ta ®­îc = 3 
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = -2 vµ x = 4.
VÝ dô 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1)
§iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh lµ x -1
Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
C¸ch 1: §Æt t = ®iÒu kiÖn t > 0
Khi ®ã (1) 
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = -4 vµ x = 2
C¸ch 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:
VT = =2
Ta thÊy dÊu b»ng x¶y ra (Tøc lµ ) 
khi 
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = -4 vµ x = 2
 §èi víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trë lªn ta nªn gi¶i theo c¸ch ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Mçi trÞ tuyÖt ®èi sÏ cã mét gi¸ trÞ x lµm mèc ®Ó x¸c ®Þnh biÓu thøc trong trÞ tuyÖt ®èi ©m hay kh«ng ©m. NH÷ng gi¸ trÞ x nµy sÏ chia trôc sè thµnh c¸c kho¶ng cã sè kho¶ng lín h¬n sè c¸c trÞ tuyÖt ®èi lµ 1. Khi ®ã ta xÐt gi¸ trÞ x trong tõng kho¶ng ®Ó bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh t×m ®­îc.
VÝ dô 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh + = 2
Ta thÊy x - 1 0 x 1
 x - 3 0 x 3
Khi ®ã ®Ó thùc hiÖn viÖc bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta cÇn ph¶i xÐt ba tr­êng hîp.
+Tr­êng hîp 1: NÕu x < 1
 Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: 
 - x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (kh«ng t/m ®k)
+Tr­êng hîp 2: NÕu 1 x < 3.
 Khi ®ã ta cã ph­¬ng tr×nh:
 x - 1 - x + 3 = 2 0x = 0 lu«n ®óng => 1 x < 3 lµ nghiÖm.
+Tr­êng hîp 3: NÕu x 3 
 Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: 
 x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 (t/m ®k)
 VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ 1 x 3
C. kÕt qu¶ ®¹t ®­îc:
 Sau c¸c buæi tæ chøc häc phô kho¸ vµ tù chän ®èi víi HS líp 8 vµ truyÒn thô cho häc sinh hÖ thèng c¸c d¹ng vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i nªu trªn t«i nhËn thÊy ®a sè häc sinh n¾m v÷ng d­îc kiÕn thøc vµ gi¶i thµnh th¹o d¹ng to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa ®Êu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Víi hÖ thèng kiÕn thøc, c¸c d¹ng to¸n vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i ®­îc x©y dùng ®¬n gi¶n vµ ®Ô nhí nªn häc sinh n¾m nhanh v× vËy ®· h×nh thµnh cho häc sinh niÒm thÝch thó khi gÆp c¸c d¹ng to¸n nµy. §­¬ng nhiªn hÖ thèng kiÕn thøc trªn chØ dõng l¹i ®èi víi ®èi t­îng häc sinh cã häc lùc trung b×nh vµ kh¸, cßn ®èi víi häc sinh giái chóng ta cÇn x©y dùng s©u h¬n vµ bæ sung c¸c d¹ng to¸n phong phó h¬n.
D. KÕt luËn
 Nh­ vËy, tõ chç hä sinh cßn lóng tóng trong kiÕn thøc vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i thËm chÝ tá th¸i ®é kh«ng yªu thÝch, qua thùc tÕ gi¶ng d¹y víi hÖ thèng kiÕn thøc nªu trªn häc sinh ®· gi¶i thµnh th¹o c¸c d¹ng to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ë møc c¬ b¶n. Khi n¾m v÷ng kiÕn thøc vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i häc sinh sÏ cã ®­îc sù høng thó gãp phÇn kh¬i dËy niÒm say mª trong häc tËp tõ ®ã n©ng cao ®­îc chÊt l­îng ®¹i trµ trong d¹y häc bé m«n To¸n. Víi hÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n ®­îc x©y dùng vµ truyÒn thô nh­ trªn häc sinh sÏ chñ ®éng ®Ó tiÕp thu nh÷ng kiÕn míi h¬n trong ch­¬ng tr×nh ë c¸c líp trªn.
 Cã thÓ nãi, trªn ®©y lµ mét sè ®iÒu mµ b¶n th©n t«i ®· rót ®­îc qua d¹y häc. Tuy nhiªn trong nh÷ng ®iÒu ®ã còng ®­îc qua t×m tßi tõ c¸c tµi liÖu, s¸ch b¸o vµ häc hái tõ ®ång nghiÖp nªn còng cßn cã nh÷ng h¹n chÕ nhÊt ®Þnh.
 RÊt mong nhËn ®­îc c¸c ý kiÕn ®ãng gãp, chØ b¶o cña héi ®ång khoa häc c¸c cÊp vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp.
 Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! 	
 ..., ngµy 30 th¸ng 4 n¨m 2016
	 Ng­êi lµm ®Ò tµi