Sáng kiến kinh nghiệm Các biện pháp tạo sự hứng thú học Toán cho học sinh THPT thông qua việc dạy, học phần vectơ - Chương trình Hình học lớp 10

 Nếu lấy điểm A trùng với điểm 
đầu của vectơ a , thì việc xác định vectơ tổng a b+ có đơn giản hơn không? 
Từ đó có nhận xét: Ta có thể lấy điểm A trùng với điểm đầu của vectơ a 
Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Cho 3 điểm M, N, P. Điền vào dấu “” 
a) ....MN NP b) ...NM MP c) ...PN NM 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
Chứng minh: .PB MC AN+ = 
c) Sản phẩm: 
1. Tổng của hai vec tơ. 
Sản phẩm vẽ hình bằng phần mềm GeoGebra 
của 2 nhóm HS 
 7 
Định nghĩa. Cho hai vectơ a , b . Lấy một điểm A tùy ý và vẽ AB a= , BC b=
. Khi đó, vec tơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b và được kí hiệu là a b+ . 
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ 
*Quy tắc 3 điểm đối với phép cộng hai vectơ: 
AB BC AC+ = hay AC AB BC= + (viết theo kiểu chèn điểm) 
Mở rộng: 
1 2 2 3 1 1... .n n nA A A A A AA A−++ = 
Ví dụ 1: ĐS: a) , b) , c) 
Ví dụ 2: PB MC PB BM PM+ = + = 
Dễ dàng chứng minh được tứ giác PMNA là hình bình hành (có cặp cạnh đối PM 
và AN song song và bằng nhau) 
Điều này tương đương với .PM AN= 
Vậy .PB MC AN+ = 
d) Tổ chức thực hiện 
MP NP PM
 8 
Chuyển giao 
GV: GV giao nhiệm vụ cho HS, sử dụng phần mềm 
GeoGebra thực hiện nhiệm vụ sau: 
Nhóm 1: Với hai vectơ a ,b cho trước, lấy một điểm A và 
vẽ các vectơ ,AB a BC b= = . 
Nhóm 2: Với hai vectơ a ,b cho trước, lấy một điểm A’ 
khác điểm A và cũng vẽ các vectơ ' ' , ' 'A B a B C b= = . 
- HS 2 nhóm cử đại diện báo cáo sản phẩm 
- GV hướng dẫn học sinh tới quy tắc 3 điểm 
- GV chú ý cho học sinh quy tắc 3 điểm còn viết theo dạng 
chèn thêm điểm vào giữa hai điểm của vectơ. 
- HS ghi nhớ các quy tắc và áp dụng vào làm các Ví dụ 1, 
Ví dụ 2 . 
Thực hiện 
- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ 
- GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn các nhóm 
Báo cáo thảo luận 
- HS: Nêu ra được quy tắc 3 điểm: 
 Cho A, B, C là 3 điểm bất kì ta có AB BC AC+ = . 
- GV mở rộng quy tắc 3 điểm: Ngoài việc chèn một điểm 
thì ta có thể chèn thêm nhiều điểm để thành tổng của các cặp vectơ 
. 
Đánh giá, nhận 
xét, tổng hợp 
 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học 
sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động 
viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động 
học tiếp theo. 
- Chốt kiến thức Tổng của hai vectơ, quy tắc 3 điểm viết 
theo hai dạng. 
HĐTP 1.2. Quy tắc hình bình hành 
a) Mục tiêu: Học sinh nắm được quy tắc hình bình hành để cộng hai vectơ có chung 
gốc. 
b) Nội dung: GV cho học sinh quan sát hình bình hành ABCD và yêu cầu học sinh: 
H1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB AD AC+ = 
H2: Cho hình bình hành ABCD tính các biểu thức sau: 
 9 
a) BA BC b) DA DC c) CB CD 
c) Sản phẩm: 
2. Quy tắc hình bình hành: 
Cho hình bình hành ABCD ta có: AB AD AC+ = 
L1: Ta có: AB AD AB BC AD 
L2: a) BA BC BD b) DA DC DB c) CB CD CA 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
- GV Cho học sinh quan sát hình bình hành ABCD yêu cầu học 
sinh chứng minh đẳng thức: AB AD AC+ = 
- HS chứng minh đẳng thức. 
- GV: Từ kết quả của bài toán trên giáo viên đưa ra quy tắc 
hình bình hành 
- GV cho học sinh so sánh hai quy tắc vừa mới học để lưu ý 
khi sử dụng hai quy tắc đó 
Thực hiện 
- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ. 
- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các 
nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra. 
Báo cáo thảo 
luận 
- HS so sánh hai quy tắc hình bình hành và quy tắc 3 điểm để 
áp dụng làm bài tập. 
+ Quy tắc 3 điểm chỉ áp dụng khi 2 vectơ có điểm cuối của 
vectơ này và điểm đầu của vectơ kia trùng nhau. 
+ Quy tắc hình bình hành chỉ áp dụng khi hai vectơ có chung 
điểm đầu và 2 vectơ đó nằm trên hai cạnh hình bình hành. Kết quả 
thu được là vectơ nằm trên đường chéo hình bình hành đó. 
D
C
B
A
 10 
Đánh giá, nhận 
xét, tổng hợp 
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh. 
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt 
học sinh hình thành kiến thức mới về quy tắc hình bình hành. 
HĐTP1.3.Tính chất của phép cộng các vec tơ 
a) Mục tiêu: Học sinh nắm được các tính chất của phép cộng các vectơ và áp dụng 
làm bài tập 
b) Nội dung: GV Cho học sinh quan sát hình 1.8 SGK và kiểm tra, so sánh a b
và b a ; a b c và a b c 
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng: 
a) AB CD BC DA 0+ + + = 
b) OA OB OC OD 0+ + + = 
c) Sản phẩm: 
3. Tính chất của phép cộng vectơ 
Với  a,b, c , ta có: 
a) a + b = b + a (tính chất giao hoán) 
b) ( ) ( )a + b + c = a + b + c ( tính chất kết hợp) 
c) a + 0 = 0 + a = a ( tính chất của vectơ – không) 
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng 
a) AB CD BC DA 0+ + + = 
( ) ( )AB BC CD DA AC CA AA 0 + + + = + = = 
b) OA OB OC OD 0+ + + = 
( ) ( )OA OC OB OD 0 + + + = 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
- GV: Chỉ trên hình vẽ để học sinh phát hiện a b
và b a ; a b c và a b c là bằng nhau sau đó giáo 
viên đưa ra tính chất 
- GV cho học sinh sử dụng các tính chất của phép 
cộng véc tơ để chứng minh bài toán. 
Thực hiện - HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ. 
O
A B
D C
 11 
- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi 
nếu các nhóm chưa hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra 
Báo cáo thảo luận 
- HS: Sử dụng tính chất sắp xếp lại các cặp vectơ sao 
cho có thể dùng các quy tắc để cộng các vectơ. 
- HS: Tổng của hai vectơ đối bằng 0 
- HS theo dõi và làm theo hướng dẫn của GV. 
 Đánh giá, nhận xét, tổng 
hợp 
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời 
của học sinh 
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, 
và dẫn dắt học sinh hình thành kiến thức mới về tính chất 
của phép cộng vectơ. 
* Trước khi chuyển sang phần kiến thức “ Hiệu hai vec tơ”, GV yêu cầu HS tóm tắt 
kiến thức “Tổng hai vec tơ” bằng sơ đồ tư duy. 
Sản phẩm dự kiến của HS: 
HĐTP1.4. Hiệu hai vectơ 
a) Mục tiêu: Học sinh hiểu được khái niệm về vectơ đối, nắm được định nghĩa hiệu 
của hai vectơ 
 12 
b) Nội dung: 
H1: Cho hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai AB và 
CD 
Ví dụ 5: Cho ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Tìm 
các vectơ đối của 
a) DE b) EF 
H2: Chứng minh: OB - OA AB= 
H3: Ví dụ 6: Với bốn điểm A, B, C, D bất kỳ ta luôn có AB CD AD CB+ = + 
c) Sản phẩm: 
a.Vectơ đối 
+) Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của a , kí 
hiệu -a . 
+) - AB = BA 
+) Vectơ đối của 0 là 0 . 
Đ1: Hai vectơ AB và CD có cùng độ dài và hướng ngược nhau. 
Ví dụ 5: 
A
B
C
D
EF
a) Vectơ đối của DE : ED, ,FA BF 
b) Vectơ đối của EF : FE,AD,DC 
b. Hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b
là: a - b = a + (-b) 
+ Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra: OB - OA AB= 
Đ2: Ta có OB - OA OB AO AO OB AB= + = + = 
Đ3: 
 VT AB CD OB OA OD OC OD OA OB OC AD CB VP= + = − + − = − + − = + = 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
- HS nhận xét về hướng và độ dài của AB và CD 
- GV đưa ra khái niệm về hai vectơ đối 
- GV đưa ra định nghĩa hiệu của hai vectơ 
- GV đưa ra quy tắc trừ hai vectơ. 
Thực hiện - HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ. 
 13 
- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu 
các nhóm chưa hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra 
Báo cáo thảo luận 
- Các cặp thảo luận về hướng và độ dài của hai vectơ 
AB và CD 
- Các cặp thảo luận về vectơ đối của DE và EF 
- Thảo luận để đưa ra kết quả OB - OA 
+ Hai vectơ phải chung gốc ta mới thực hiện đuợc quy 
tắc trừ. 
Đánh giá, nhận xét, 
tổng hợp 
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của 
học sinh 
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận về quy 
tắc: 
+ Quy tắc trừ: Cho 3 điểm O, A, B tùy ý ta có: 
OB - OA AB= 
+ Quy tắc 3 điểm: Cho 3 điểm O, A, B tùy ý ta có 
AO OB AB+ = 
+ Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta 
có: AB AD AC+ = 
HĐTP1.5. Áp dụng 
a) Mục tiêu: Học sinh nắm được đẳng thức vec tơ liên quan đến trung điểm của 
một đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác 
b)Nội dung: 
H1: Cho I là trung điểm của AB. Chứng minh: IA + IB = 0 . 
H2: Chứng minh: G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0 
c) Sản phẩm: 
5. Áp dụng: 
L1: I là trung điểm của AB IA + IB = 0 
L2: Vẽ hình bình hành BGCD 
 14 
A
B C
G
D
I
 GB + GC = GD và GA = -GD . Vậy GA + GB + GC = GA + GD = 0 
Ngược lại, giả sử GA + GB + GC = 0 . Vẽ hình bình hành BGCD có I là giao điểm 
hai đường chéo. Khi đó GB + GC = GD , suy ra GA + GD 0= nên G là trung điểm của 
đoạn AD. Do đó 3 điểm A, G, I thẳng hàng, 2GA GI , điểm G nằm giữa A, I. Vậy G là 
trọng tâm tam giác ABC. 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
GV: Cho học sinh vẽ hình và sử dụng các kiến thức đã 
học chứng minh Câu a. 
GV hướng dẫn học sinh chứng minh Câu b 
+ Kẻ thêm hình bình hành BGCD 
+ Sử dụng các quy tắc hình bình hành và tính chất I là 
trung điểm của hai đường chéo để chứng minh Câu b. 
Thực hiện 
- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ. 
- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi 
nếu các nhóm chưa hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra. 
Báo cáo thảo luận 
- Các cặp thảo luận về các tính chất của trung điểm đoạn 
thẳng, trọng tâm tam giác. 
- Sử dụng các kiến thức đó để thảo luận về bài toán: 
Bài toán 1: Cho I là trung điểm của AB và M tùy ý, 
chứng minh rằng: 
2MA MB MI 
Bài toán 2: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC , 
chứng minh rằng: 
3GA GB GC MG 
Đánh giá, nhận xét, 
tổng hợp 
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của 
học sinh 
 15 
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và 
dẫn dắt học sinh hình thành kiến thức. 
+ Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ 
khi IA + IB = 0 
+ Cho I là trung điểm của AB và M tùy ý: 
2MA MB MI 
+ Cho G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi 
GA + GB + GC = 0 
+ Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, M tùy ý: 
3MA MB MC MG 
3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP 
a) Mục tiêu: HS biết áp dụng các kiến thức về tổng và hiệu của hai vectơ vào các 
bài tập cụ thể. 
b) Nội dung: 
PHIẾU HỌC TẬP 1 
Câu 1: Cho 4 điểm bất kỳ , , ,A B C D . Đẳng thức nào sau đây là đúng: 
A. OA CA CO= + . B. 0BC CA AB+ + = . 
C. BA OB AO= + . D. OA OB AB= + . 
Câu 2: Cho 4 điểm bất kì , , ,A B C O . Đẳng thức nào sau đây đúng? 
A. OA OB AB= + . B. AB OB OA= + . 
C. AB AC BC= + . D. OA CA OC= + . 
Câu 3: Cho hình bình hành ABCDcó tâm O . Khẳng định nào sau đây là đúng: 
A. AO BO BD+ = . B. AO AC BO+ = . 
C. OB AO CD+ = . D. AB CA DA+ = 
Câu 4: Cho bốn điểm , , ,A B C D phân biệt. Khi đó vectơ u AD BA CB DC= + + + bằng: 
A. u AD= . B. 0u = . C. u CD= . D. u AC= . 
Câu 5: Cho 4 điểm bất kỳ , , ,A B C O . Đẳng thức nào sau đây là đúng: 
A. OA CA OC= + . B. AB AC BC= + . 
C. AB OB OA= + . D. OA OB AB= + . 
Câu 6: Cho 6 điểm , , , , ,A B C D E F . Tổng véc tơ: AB CD EF+ + bằng 
A. AF CE DB+ + . B. AE CB DF+ + . 
C. AD CF EB+ + . D. AE BC DF+ + . 
Câu 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Khi đó AB AC+ bằng: 
A. 
5
2
a
. B. 
3
2
a
. C. 
3
3
a
. D. 5a . 
Câu 8: Cho tam giác đều ABC cạnh a , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng? 
A. AB AC= . B. GA GB GC= = . 
 16 
C. 2AB AC a+ = . D. 3AB AC AB CA+ = + .
Câu 9: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của 2 đường chéo. Khẳng định nào 
sau đây là khẳng định sai? 
A. 0IA CI− = B. AB DC= C. AC BD= D. 
AB DA AC− = 
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD ,với giao điểm hai đường chéo là I . Khi đó: 
A. AB AI BI− = . B. AB DA BD− = . C. 0AB DC− = . D. 
0AB DB− = . 
Câu 11: Cho 4 điểm bất kỳ , , , A B C O . Đẳng thức nào sau đây là đúng: 
A. OA CA CO= − . B. AB AC BC= + . C. AB OB OA= + . D. 
OA OB BA= − . 
Câu 12: Cho tam giác ABC , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng? 
A. AB CB AC− = . B. 0GA GB GC+ + = . 
C. AB CB AC− = . D. 0GA BG CG− − = . 
Câu 13: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng? 
A. 0AO BO CO DO+ − + = . B. 0AO BO CO DO+ + + = . 
C. 0AO OB CO OD+ + − = . D. 0OA OB CO DO− + + = . 
Câu 14: Cho 4 điểm , , , A B C D . Đẳng thức nào sau đây đúng? 
A. AB DC AC DB− = − . B. AB CD AD BC+ = + . 
C. AB DC AD CB− = + . D. AB CD DA CB+ = − . 
Câu 15: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Khi đó AB CA−
bằng. 
A. 3a . B. 
3
2
a
. C. 2a . D. a . 
Câu 16: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a , H là trung điểm cạnh BC . Vectơ 
CH HC− có độ dài là: 
A. a . B. 
3
2
a
. C. 
2 3
3
a
. D. 
7
2
a
. 
c) Sản phẩm: Học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
GV cho HS thực hiện nhiệm vụ dưới dạng trò chơi: trên nền tảng 
Quizizz 
Thực hiện HS tham gia các hoạt động. 
Báo cáo thảo 
luận 
Thông báo kết quả, nhận xét. 
 17 
Đánh giá, nhận 
xét, tổng hợp 
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học 
sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. 
Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo. 
4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG. 
a)Mục tiêu: Giải quyết một số bài toán tổng hợp lực trong Vật lý 
b) Nội dung 
PHIẾU HỌC TẬP 2 
Vận dụng 1: Cho hai lực 1F MA= , 
2F MB= cùng tác động vào một vật tại điểm M. 
Cường độ hai lực 1F , 2F lần lượt là 300N và 400N, 
090AMB = . Tìm cường độ của lực tác động lên vật. 
 A. 0N. B. 700N. 
 C. 100N. D. 500N. 
Vận dụng 2: Cho ba lực 1F MA= , 2F MB=
, 3F MC= cùng tác động vào một ô tô tại điểm M 
và ô tô đứng yên. Cho biết cường độ hai lực 1F , 
2F đều bằng 25N và góc 
060AMB = . Khi đó 
cường độ lực 3F là 
A. 25 3N . B. 50 3N . C. 50 2N D. 
100 3N 
c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 ở tiết trước 
của bài 
HS: Nhận nhiệm vụ, 
Thực hiện 
Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà 
. 
Báo cáo thảo luận 
HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm 
 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện 
để làm rõ hơn các vấn đề. 
Đánh giá, nhận xét, 
tổng hợp 
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm 
học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt 
nhất. 
 18 
- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học. 
- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã 
học bằng sơ đồ tư duy. 
*Hướng dẫn làm bài 
+ Vận dụng 1 
- Ta có tổng lực tác dụng lên vật: 1 2F F MA MB MC+ = + = (Với C là điểm sao cho 
AMBC là hình bình hành). 
- Khi đó cường độ lực tác dụng lên vật: 1 2F F MC MC+ = = 
- Ta có: 1 300MA MA F N= = = 
 2 400MB MB F N= = = 
- Mặt khác do 090AMB = nên AMBC là hình chữ nhật. Khi đó: 
 2 2 2 2400 300 500( )MC MA MB N= + = + = 
Vậy chọn đáp án: D 
+ Vận dụng 2 
- Ta có: 1 2F F MA MB MD+ = + = (Với D là điểm sao cho AMBD là hình bình hành). 
- Ta có: 1 25MA MA F N= = = ; 2 25MB MB F N= = = 
- Do 060AMB = nên MAB là tam giác đều. Khi đó: 
25 3
2. 25 3( )
2
MD N= = 
- Do ô tô đứng yên nên cường độ lực tác dụng lên ô tô bằng 0 hay 1 2 3 0F F F+ + = 
Suy ra: 3 1 2 3 1 2( ) ( ) 25 3F F F F F F DM MD= − + = − + = = = 
Vậy cường độ của 3F là 25 3N . 
Chọn đáp án: A