Sáng kiến kinh nghiệm Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh

 thành có một góc bằng 900
(3) Chứng minh đường thẳng thứ nhất vuông góc với một đường thẳng khác mà song song với đường thẳng thứ hai.
(4) Sử dụng tính chất ba đường cao trong tam giác.
(5) Chứng minh đường thẳng thứ nhất là đường trung trực của một đoạn thẳng nằm trên đường thẳng kia.
(6) Sử dụng tính chất đường cao của tam giác cân.
(7) Chứng tỏ chúng là hai đường thẳng chứa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, thường kết hợp với việc tính tổng hai góc hoặc sử dụng định lý Pytago.
*) Các bài tập minh họa:
Bài tập 1: Cho hai đường thẳng song song xx’ và yy’. Vẽ đường thẳng a cắt xx’ tại A, cắt yy’ tại B. Tia phân giác của các góc xAB và ABy cắt nhau tại C; tia phân giác của các góc BAx’ và ABy’ cắt nhau tại D. Chứng minh rằng:
a) CA DA; CB DB
b) AC CB; AD BD
Bài giải:
GT
 xx’ // yy’
 
KL
a) CA DA; CB DB
b) AC CB; AD BD



a) AC là tia phân giác của góc xAB (gt)
AD là tia phân giác của góc BAx’ (gt)
Mà hai góc xAB và BAx’ kề bù.
CA DA
Chứng minh tương tự có: CB DB
b) Vì xx’ // yy’ => (kề bù)
=> 
=> CAB vuông tại C => AC CB
Chứng minh tương tự có DAB vuông tại D => AD BD
Bài tập 2: Cho góc xOy, lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Gọi K là giao điểm của AB và tia phân giác góc xOy. Chứng minh rằng:OK ^ AB
Bài giải:
GT
góc xOy
A Ox, B Oy; OA = OB
 
KL
OK ^ AB



Vì OA = OB (gt) => AOB cân tại O
Mà OK là đường phân giác xuất phát từ đỉnh O (gt)
=> OK đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh O (t/c tam giác cân)
=> OK ^ AB
Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D. Chứng minh: AD ^ BE.
Bài giải:
GT
ABC nhọn, AC > AB
AE = AB
 
KL
AD ^ BE.


Xét ABD và AED có:
AB = AE (gt)
(gt)
AD là cạnh chung.
=> ABD = AED (c-g-c)
=> DB = DE (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = AE (gt)
=> AD là đường trung trực của đoạn thẳng BE (tính chất trung trực)
Do đó: AD ^ BE.
* Bài tập đề nghị:
Cho tam giác ABC vuông tại C. Kẻ đường cao CH. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh: MN ^ AC
2.2.3. Chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy 
a) Chứng minh các điểm thẳng hàng
* Các cách thường dùng để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
(1)	Chứng minh AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB hoặc BA + AC = BC)
(2)	Chứng minh 
(3)	Sử dụng tiên đề Euclide, chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC cùng song song với một đường thẳng khác.
(4)	Sử dụng tính chất của các đường trong tam giác (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực). Chứng minh rằng A, B, C cùng thuộc một trong các đường ấy.
*Bài tập minh hoạ:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Bài giải:
GT
ABC
D thuộc tia đối AB: AD = AB
E thuộc tia đối AC: AE = AC
CM = EN
KL
M, A, N thẳng hàng.


Xét ΔABC và ΔADE có:
AB = AD (gt)
 (đối đỉnh)
AC = AE (gt)
=> ΔABC = ΔADE (c-g-c)
=> (hai góc tương ứng)
Xét ΔAEN và ΔACM có:
AC = AE (gt)
 (cmt)
CM = EN (gt)
=> ΔAEN = ΔACM (c-g-c)
=> (hai góc tư)
Mà (kề bù) => 
Hay => Ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho D ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB, trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh rằng: ba điểm M, A, N thẳng hàng. 
Bài giải:
GT
DABC
DA = DC; EA = EB
M thuộc tia đối DB: DM = DB
N thuộc tia đối EC: EN = EC
KL
M, A, N thẳng hàng. 



Xét ADM và CDB có:
DA = DC (gt)
 (đối đỉnh)
DM = DB (gt)
=>ADM = CDB (c-g-c)
 (hai góc tương ứng)
AM // BC (hai góc so le trong bằng nhau)(1)
Chứng minh tươn tự có AEN = BEC (c-g-c)
 (hai góc tương ứng)
AN // BC (hai góc so le trong bằng nhau) (2)
Từ (1) và (2) suy ra qua điểm A có hai đường thẳng cùng song song với BC (trái với tiên đề Ơclit)
Do đó: AN trùng với AN hay ba điểm M, A, N thẳng hàng.
*Bài tập đề nghị:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là giao điểm của BE và CD, M là trung điểm của BC. Chứng minh: ba điểm A, M, I thẳng hàng.
b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
* Các phương pháp thường dùng để chứng minh ba đường thẳng đồng quy:
(1)	Chứng minh đưòng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường kia.
(2)	Sử dụng tính chất của các đường thẳng đồng quy trong tam giác.
(3)	Đưa về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng.
* Bài tập minh hoạ.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên BM lấy hai điểm G và K sao cho 
 và G là trung điểm của BK. Trên CG lấy điểm I sao cho CI = CG. Chứng minh ba đường thẳng AG, BC, KI đồng quy.
Bài giải:
GT
D ABC, MA = MC
; GB = GK
CI = CG
KL
AG, BC, KI đồng quy.


D ABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC
Mà: => G là trọng tâm của tam giác ABC (tính chất trọng tâm)
AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC (tính chất ba đường trung tuyến)
AG cắt BC tại điểm H là trung điểm của BC (1)
Để chứng minh AG, BC, KI đồng quy ta sẽ chứng minh KI đi qua H.
Thật vậy, DBCK có GB = GK nên CG là đường trung tuyến ứng với cạnh BK
Mà CI = CG => I là trọng tâm của tam giác BCK (tính chất trọng tâm)
KI là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác BCK
KI đi qua trung điểm H của BC (2)
Từ (1) và (2) => AG, BC, KI đồng quy tại H.
Bài tập 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó cùng đi qua một điểm.
Bài giải:
GT
D ABC
Phân giác góc ngoài tại B và C cắt nhau tại G
KL
G thuộc tia phân giác của góc BAC


Kẻ GD AB; GE AC; GF BC
Vì G nằm trên tia phân giác của góc DBC nên GD = GF (tính chất phân giác) (1) 
Vì G nằm trên tia phân giác của góc ECB nên GE = GF (tính chất phân giác) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: GD = GE
G nằm trên tia phân giác của góc BAC
Đường phân giác góc ngoài tại B và C, đường phân giác góc trong tại A cùng đi qua G (đpcm)
*Bài tập đề nghị:
Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, có chứa B, vẽ tia Ax’ // BC và lấy trên Ax’ một điểm D sao cho AD = CB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, không chứa B, vẽ tia Ax // BC và lấy trên Ax một điểm E sao cho 
AE = CB. Hai tia DB và EC cắt nhau tại F. Chứng minh ba đường thẳng AF, BE, CD đồng quy.
2.2.4. Chứng minh các hình
a) Chứng minh tam giác cân
 *Các cách sử dụng để chứng minh:
(1)	Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
(2)	Chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau
(3)	Chứng minh tam giác có hai trong 4 đường sau đồng quy: đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực.
(4) Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau, hoặc hai đường cao bằng nhau hoặc hai đường trung tuyến bằng nhau.
*Các bài tập minh hoạ.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có K là trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh các tam giác ABK , ACK cân
b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AK cắt AB tại E. Chứng minh tam giác BEC cân.
Bài giải:
GT
ΔABC, 
KB = KC
CE // AK
KL
a) ΔABK, ΔACK cân
b) ΔBCE cân


a) Vì K là trung điểm của BC nên AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
=> AK = BC (tính chất tam giác vuông) => BK = KB = KC
=> ABK, ΔACK cân tại K (tam giác có hai cạnh bằng nhau)
b) Vì CE // AK (gt)
=> (đồng vị)
Mà (tam giác ABK cân tại K)
=> => ΔBCE cân tại C (tam giác có hai góc bằng nhau)
Bài tập 2: Cho góc xOy, có Ot là tia phân giác. Lấy điểm M khác O trên tia Ot. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với Ot cắt Ox, Oy thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng:
a) OBA cân.
b) Trên tia Ot lấy điểm N khác O và M. Chứng minh ΔNAB cân
Bài giải:
GT
Góc xOy
M, N Ot
AB Ot tại M
KL
a) ΔOAB cân
b) ΔNAB cân


a) Xét ΔOAB có: AM AB; 
=> AM là đường cao đồng thời là phân giác xuất phát từ đỉnh O của ΔOAB
=> ΔOAB cân tại O.
b) Xét ΔNBO và ΔNAO có:
AO = OB (ΔOAB cân tại O)
 (gt)
AN là cạnh chung.
=> Δ ΔNAB cân tại N
* Bài tập đề nghị:
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AC lấy một điểm D sao cho BD = BC. Qua C kẻ đường thẳng d song song với cạnh AB. Lấy điểm E trên đường thẳng d sao cho CE = AD (E và A nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC). Chứng minh: tam giác ABE cân
b) Chứng minh tam giác đều:
*Các cách chứng minh tam giác đều:
(1) Chứng minh tam giác có ba cạnh bằng nhau.
(2) Chứng minh tam giác có ba góc bằng nhau.
(3) Chứng minh tam giác đó cân và có một góc bằng 600
* Bài tập minh họa:
Bài tập 1: Cho ΔABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao cho AD = BE = CF.
CMR: ΔDEF đều.
Bài giải:
GT
ΔABC, AB = AC = BC
AD = BE = CF
KL
ΔDEF đều



Có AB = AC = BC (gt)
=> AD + DB = À + FC = BE + EC
Mà AD = BE = CF => BD = CE = AF
Xét ΔADF và ΔBED có:
AD = BE (gt)
 (tam giác ABC đều)
AF = BD (cmt)
=> ΔADF = ΔBED (c-g-c) => DF = DE (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự: ΔBED = ΔCFE => DE = EF (hai cạnh tương ứng)
Do đó: DE = DF = EF
=> ΔDEF đều
Bài tập 2: Cho ΔABC có . Tia phân giác BD của góc B cắt tia phân giác CE của góc C tại O. Tia phân giác của góc BOC cắt BC tại F. Chứng minh rằng: ΔDEF đều.
Bài giải:
GT
ΔABC, 
Tia phân giác BD của góc B cắt tia phân giác CE của góc C tại O
Tia phân giác của góc BOC cắt BC tại F
KL
ΔDEF đều.



Xét ΔABC có: (đl tổng ba góc tam giác)
(BD, CE là phân giác)
 => 
Xét ΔOEB và ΔOFB có:
OB chung
 (gt)
ΔOEB = ΔOFB (g-c-g)
OE = OF (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự: OD = OF. Do đó: OD = OE = OF
Xét ΔEOF và ΔDOF có:
OE = OD (cmt)
OF chung
ΔEOF = ΔDOF (c-g-c) => EF = FD
Chứng minh tương tự: FD = DE.
EF = DE = DF => ΔDEF đều.
*Bài tập đề nghị:
 Cho ΔABC đều. Trên tia đối của các tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao cho AD = BE = CF.
CMR: ΔDEF đều.
c) Chứng minh tam giác vuông.
*Các cách chứng minh tam giác vuông:
(1) Sử dụng định lý Pytago đảo.
(2) Chứng minh tam giác có hai cạnh vuông góc với nhau bằng cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
(3) Chứng minh tam giác có tổng hai góc bằng 900.
(4) Chứng minh tam giác có một trung tuyến bằng một nửa cạnh tương ứng.
* Bài tập minh họa:
Bài tập 1: Cho ΔABC có AB = 12cm; AC = 16cm; BC = 20cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Bài giải:
Có: AB2 + AC2 = 122 + 162 = 400
BC2 = 202 = 400
AB2 + AC2 = BC2
ΔABC vuông tại A (định lý Pytago đảo)
Bài tập 2: Cho ΔABC có , kẻ AH BC.Tia phân giác của góc BAH và góc C cắt nhau tại K. Chứng minh: ΔAKC vuông
Bài giải:
GT
ΔABC, 
AH BC
Tia phân giác của góc BAH và góc C cắt nhau tại K
KL
ΔAKC vuông


ΔACH vuông tại H => (tính chất tam giác vuông)
Mà 
 (cùng phụ với )
=> 
Theo định lý tổng ba góc của tam giác cho tam giác KAC tính được: 
ΔAKC vuông tại K
* Bài tập đề nghị:
Cho xÔy = 900 . Vẽ tia phân giác Oz của góc xOy , trên đó lấy điểm C. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với Oz cắt Ox ở A, cắt Oy ở B. Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của OA và OB. Chứng minh tam giác CED vuông.
3. Kết quả: 
	 Tôi đã áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 7A3, 7A4, 7A5 và thu được kết quả tốt.
Trước khi áp dụng đề tài này, tôi thấy nhiều học sinh còn lúng túng, khó xác định dạng toán, nhầm lẫn trong việc xác định dữ kiện đã cho và yêu cầu đề bài nên không tìm ra cách giải ngay. Sau khi áp dụng đề tài, tôi đã giúp học sinh khắc phục được những khó khăn sau: thiếu phương pháp chứng minh, hình thành kỹ năng chậm, tư duy thiếu linh hoạt, sử dụng ngôn ngữ toán học lúng túng, .Học sinh đã tự tin, làm bài có chất lượng hơn, học sinh hứng thú và học tập tích cực hơn. Học sinh loại bỏ được tâm lí lo sợ, ức chế đồng thời tạo hứng thú, kích thích niềm ham mê tìm hiểu sâu hơn của các em về mảng kiến thức hình học.
Dưới đây là kết quả làm bài kiểm tra dạng toán trên. 
KÕt qu¶ thùc nghiÖm
(b¶ng thèng kª kÕt qu¶ bµi kiÓm tra d¹ng to¸n trªn)
Áp dụng đề tài.
Kết quả kiểm tra
Giái
Kh¸ 
T.B×nh 
YÕu 
KÐm
Ch­a ¸p dông
45%
15%
35%
5%
0%
§· ¸p dông
60%
27%
13%
0%
0%

 KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu và thực nghiệm tại trường mình, tôi nhận thấy đề tài này phù hợp với quá trình dạy toán cho học sinh khối lớp 7, giúp các em tổng hợp lại được kiến thức mình đã học và hào hứng hơn trong tiết học môn hình học 
Qua bài viết này tôi có một suy nghĩ trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh, đặc biệt là chất lượng học tập môn toán. Tôi nhận thấy: 
Trước hết, người giáo viên phải soạn bài chu đáo, khi lên lớp, nhất thiết phải có giáo án trên giấy, ngay cả khi sử dụng máy chiếu Projector. Khi giảng bài, giáo viên phải làm rõ trọng tâm và mối quan hệ lôgíc nội tại của mạch kiến thức bài học, sắp xếp hợp lý hoạt động của giáo viên và học sinh; chuẩn bị hệ thống câu hỏi phát huy trí lực và phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh, (nhất là đối với bài dài, bài khó, nhiều kiến thức mới). Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng sáng tạo kiến thức, hạn chế ghi nhớ máy móc, thay việc sửa lỗi bằng cách hướng dẫn học sinh tự trả lời câu hỏi: do dâu dẫn đến kết quả sai?
Thứ hai: Giáo viên phải là người làm chủ lớp học, thiết lập bầu không khí thân thiện tích cực, chủ động giải quyết mọi tình huống bảo đảm yêu cầu sư phạm.
Thứ ba: Sử dụng hợp lý sách giáo khoa (không đọc chép, hướng dẫn học sinh chỉ ghi theo diễn đạt của giáo viên, không để học sinh đọc theo sách giáo khoa để trả lời câu hỏi) và sử dụng có hiệu quả thiết bị dạy học, phương tiện trực quan, phương tiện nghe nhìn; ứng dụng hợp lý công nghệ thông tin, thực hiện đầy đủ thí nghiệm, thực hành. Ở một số bài phải làm rõ mối liên hệ dọc theo mạch kiến thức môn học và mối quan hệ môn với các môn học khác để khắc sâu kiến thức.
Thứ tư: Cần phải tích luỹ, khai thác sử dụng hồ sơ chuyên môn, liên hệ thực tế sinh động để làm sâu sắc thêm bài giảng, giao bài tập, chủ đề nguyên cứu, sưu tầm về nhà để rèn luyện kỷ năng tự học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Thứ năm: Giáo viên nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết, dẫn dắt học sinh tự đưa ra kết luận cần thiết. Dạy phải sát đối tượng, coi trọng bồi dưỡng học sinh khá giỏi và kiên trì giúp đỡ học sinh học lực yếu kém.
Trên đây là một số kết luận được tích lũy và kiểm nghiệm thông qua 12 năm giảng dạy của bản thân tôi. Đó chưa thể gọi là tổng quát và không tránh khỏi khiếm khuyết. Tôi rất mong được sự góp ý, chia sẻ của của các thầy cô giáo và các đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Ôn tập hình học 7- Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dương Thụy – NXB Giáo dục 2014
2. Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 7 
Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm 	- NXB Giáo dục 2015
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 
– Bùi Văn Tuyên – NXB Giáo dục 2015
4. Nâng cao và phát triển toán 7 tập 1, 2 – Vũ Hữu Bình-– NXB Giáo dục 2015
5. Các chuyên đề chọn lọc toán 7 – Tôn Thân (chủ biên) - – NXB Giáo dục 2015
6. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7 – Nguyễn Đức Tấn – NXB Giáo dục 2015
7. Phương pháp giải toán 7 theo chủ đề phần hình học – Phan Doãn Thoại – NXB Giáo dục 2015